Exercice d'integrales :)

[lulu1234]

Bonjour , après avoir passé deux jours sur un exos je me retourne vers vous.
f(x)= exp(-x²)
F(x)=intégrale de 0 a x de f(t) dt

1. Montrer que pour tout x réel, G(x)=intégrale de 0 a 1 de f(xt) dt (j'ai pas vraiment compris ce qu'il fallait montrer étant donné qu'on avait jamais rencontré G(x) auparavant)

2. A l'aide d'un changement de variable montrer que G est dérivable sur R*+ et que G'(x) = (xf(x)- F(x)) / ( x²)

J'ai voulue pose x=t comme changement de variable ce qui me donnait G(x)= int de 0 a x de f(x²) dx mais ça m'a pas vraiment avancé...

3. Développent limité de G a l'ordre 2 en 0 : faut il que je calcule G avant ? Ou existe t'il un moyen direct ?


Dans l'attente de pistes , je vous remercie !!!!

[arnaud32]

1/ justifie l'existence de G

2/a x fixe tu poses u=xt

3/tu peux utiliser la formule de taylor

[lulu1234]

Merci beaucoup :)))
Pour l'existence je peut utiliser le fait que exp(-(xt)²) est continue sur R ?

[arnaud32]

oui c'est continu en t a x fixe

[lulu1234]

oui c'est continu en t a x fixe

Super ! Dernière question si on me demande la limite de G je fait comment ? Merci pour tout

[arnaud32]

la limite de G en quel point?

[lulu1234]

En l'infini puisqu'elle est décroissante sur R :)

[arnaud32]

utilises 2/

[lulu1234]

Je comprend pas , si j'utilise les limite de la dérivé ça change tout non ?

[arnaud32]

tu as trouve quoi apres ton changement de variable?

[lulu1234]

J'ai Int de 0 a x de (f(u) /x ) du

[arnaud32]

J'ai Int de 0 a x de (f(u) /x ) du

[lulu1234]

Ça s'obtient comment ?

[arnaud32]

par changement de variable u=tx puis en majorant l'integrale sur [0,x] par celle sur R+ car f est positive

[lulu1234]

Ça marche aussi en -infini ? Désolé j'ai vraiment du mal avec les intégrales ... Merci pour tout