Exercices matrices de 2 questions

[Mouette78]

Bonjour à tous,
Je suis en 2ème année d'éco gestion et j'aimerais un peu d'aide pour ces exercices s'il vous plait voici les énoncés :

Exercice n°1 :
1)Trouver une matrice carrée d'ordre 2 telle que A²= - I . A est elle inversible ?
J'ai trouvé :
A=(0 1 )
(-1 0 )
2) Trouver 2 matrices carrées A et B d'ordre 2 telle que AB = -BA

Exercice n°2 :
Soient a,b appartenant à R et la matrice
A = (a -b )
(b a )
1) Montrer que si a différent de 0 alors A est inversible
2)Calculer alors A^-1

Exercice n°3 :
Soit la matrice
M = (1 1 1 1)
(0 1 1 1)
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)

1) En utilisant la matrice B = M-I4 calculer M^n avec n appartient à tout entier naturel N
J'ai commencé j'ai trouvé
B =(1 1 1 1) (1 0 0 0) (0 1 1 1)
(0 1 1 1) - (0 1 0 0) = (0 0 1 1)
(0 0 1 1) (0 0 1 0) (0 0 0 1)
(0 0 0 1) (0 0 0 1) (0 0 0 0)

M²= (1 2 3 4)
(0 1 2 3)
(0 0 1 2)
(0 0 0 1)

M^3= (1 3 6 10)
(0 1 3 6 )
(0 0 1 3 )
(0 0 0 1 )

Je n'arrive pas a exprimer en fonction de n

2)En déduire M^-1


Je vous prie de bien vouloir m'aider je bloque..
Merci à tous

[Manny06]

Bonjour à tous,
Je suis en 2ème année d'éco gestion et j'aimerais un peu d'aide pour ces exercices s'il vous plait voici les énoncés :

Exercice n°1 :
1)Trouver une matrice carrée d'ordre 2 telle que A²= - I . A est elle inversible ?
J'ai trouvé :
A=(0 1 )
(-1 0 )
2) Trouver 2 matrices carrées A et B d'ordre 2 telle que AB = -BA

Exercice n°2 :
Soient a,b appartenant à R et la matrice
A = (a -b )
(b a )
1) Montrer que si a différent de 0 alors A est inversible
2)Calculer alors A^-1

Exercice n°3 :
Soit la matrice
M = (1 1 1 1)
(0 1 1 1)
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)

1) En utilisant la matrice B = M-I4 calculer M^n avec n appartient à tout entier naturel N
J'ai commencé j'ai trouvé
B =(1 1 1 1) (1 0 0 0) (0 1 1 1)
(0 1 1 1) - (0 1 0 0) = (0 0 1 1)
(0 0 1 1) (0 0 1 0) (0 0 0 1)
(0 0 0 1) (0 0 0 1) (0 0 0 0)

M²= (1 2 3 4)
(0 1 2 3)
(0 0 1 2)
(0 0 0 1)

M^3= (1 3 6 10)
(0 1 3 6 )
(0 0 1 3 )
(0 0 0 1 )

Je n'arrive pas a exprimer en fonction de n

2)En déduire M^-1


Je vous prie de bien vouloir m'aider je bloque..
Merci à tous

dans le 1) as-tu montré que A était inversible ?

[Sourire_banane]

Pour la question qui te pose problème plus bas, remarque que B est nilpotente d'ordre 4.

[Mouette78]

Oui elle est inversible

Je ne vois pas en quoi le fait que B soit nilpotente peut m'aider .. Je bloque vraiment ..

[Sourire_banane]

Tu es bien d'accord que B+I4=M
Alors un petit coup de binôme de Newton et c'est dans la poche.

[Mouette78]

Oui je suis D'accord !
Je n'ai pas vu le binôme de newton en cours je n'ai que les trucs de bases