[Term] Prise de tête

[Trapnest]

Bonjour tout le monde,
j'ai récemment découvert les joies de la logique grâce à cet exercice...



Soit une fonction définie sur [0;2], on considère les énoncés suivants :

P : "Pour tout x [0;2], f(x) 0"
Q : "f n'est pas positive sur l'intervalle [0;2]"

Répondre par vrai ou faux en justifiant :

(a) P signifie : « f est strictement positive sur l’intervalle [0, 2] ou f est strictement négative sur l’intervalle [0, 2]».
(b) P signifie : « Pour tout x [0, 2], f (x) > 0 ou f (x) < 0 ».
(c) Q signifie : « f est négative sur [0, 2] ».
(d) La négation de P peut s’écrire : « f est la fonction nulle sur [0, 2] ».
(e) La négation de Q peut s’écrire : « f n’est pas négative sur [0, 2] »



Voici mes réponses :

(a) est vrai car f est définie sur [0;2] et donc continue sur cet intervalle, or elle ne peut pas passer par 0, donc elle est soit strictement positive, soit strictement négative.

(b) est vraie, il s'agit de l'écriture mathématique de la question précédente, même justification.

(c) est vraie, car f n'est pas positive sur [0;2], elle est donc nulle ou négative, or 0 peut être considéré comme un nombre négative. De plus, il n'est pas précisé "f n'est pas strictement positive" dans Q donc elle ne peut pas être positive ET négative.

(d) est... IMPOSSIBLE. En effet (d) peut s'écrire de deux manière :

Q = Pour tout x [0;2], aucune image f(x) n'est égale à 0.
Alors, nonQ = Pour tout x [0;2], toutes les images f(x) sont égale à 0.
Dans ce cas (d) est vraie, car la négation de aucun est "tous".

Or on peut également l'écrire :
Q = Pour tout x [0;2], toutes les images f(x) sont différentes de 0.
Alors, nonQ = Pour tout x [0;2], il existe au moins une image f(x) égale à 0.
Dans ce cas (d) est fausse, car la négation de "tous" est "il existe au moins un"

(e) est fausse, la négation de Q est "f est positive sur [0;2]", or 0 est un nombre à la fois positif et négatif, donc f(x)=0 convient pour la négation de Q, mais pas pour (e).


Je suis très intrigué par les réponses à ces questions qui ne veulent pas dire grand chose, et je compte sur vous. Merci d'avance.

[Titahn]

Bonjour tout le monde,
j'ai récemment découvert les joies de la logique grâce à cet exercice...



Soit une fonction définie sur [0;2], on considère les énoncés suivants :

P : "Pour tout x [0;2], f(x) 0"
Q : "f est négative sur [0;2]

Répondre par vrai ou faux en justifiant :

(a) P signifie : « f est strictement positive sur l’intervalle [0, 2] ou f est strictement négative sur l’intervalle [0, 2]».
(b) P signifie : « Pour tout x [0, 2], f (x) > 0 ou f (x) < 0 ».
(c) Q signifie : « f est négative sur [0, 2] ».
(d) La négation de P peut s’écrire : « f est la fonction nulle sur [0, 2] ».
(e) La négation de Q peut s’écrire : « f n’est pas négative sur [0, 2] »



Voici mes réponses :

(a) est vrai car f est définie sur [0;2] et donc continue sur cet intervalle, or elle ne peut pas passer par 0, donc elle est soit strictement positive, soit strictement négative.

(b) est vraie, il s'agit de l'écriture mathématique de la question précédente, même justification.

(c) est vraie, car f n'est pas positive sur [0;2], elle est donc nulle ou négative, or 0 peut être considéré comme un nombre négative. De plus, il n'est pas précisé "f n'est pas strictement positive" dans Q donc elle ne peut pas être positive ET négative.

(d) est... IMPOSSIBLE. En effet (d) peut s'écrire de deux manière :

Q = Pour tout x [0;2], aucune image f(x) n'est égale à 0.
Alors, nonQ = Pour tout x [0;2], toutes les images f(x) sont égale à 0.
Dans ce cas (d) est vraie, car la négation de aucun est "tous".

Or on peut également l'écrire :
Q = Pour tout x [0;2], toutes les images f(x) sont différentes de 0.
Alors, nonQ = Pour tout x [0;2], il existe au moins une image f(x) égale à 0.
Dans ce cas (d) est fausse, car la négation de "tous" est "il existe au moins un"

(e) est fausse, la négation de Q est "f est positive sur [0;2]", or 0 est un nombre à la fois positif et négatif, donc f(x)=0 convient pour la négation de Q, mais pas pour (e).


Je suis très intrigué par les réponses à ces questions qui ne veulent pas dire grand chose, et je compte sur vous. Merci d'avance.

a) C'est faux, le fait que ta fonction soit définie n'implique pas qu'elle soit continue
b)Vrai
c) Ta définition de : "Q : "f est négative sur [0;2]"
Ta question : Q signifie : « f est négative sur [0, 2] » Tu ne t'es pas planté en en recopiant un des deux ? ^^.
d)

Q = Pour tout x [0;2], aucune image f(x) n'est égale à 0.
Alors, nonQ = Pour tout x [0;2], toutes les images f(x) sont égale à 0.
Dans ce cas (d) est vraie, car la négation de aucun est "tous".

La négation de "toutes les images sont différentes de 0" c'est "au moins une image est différente de 0"
e)J'vais attendre une certitude la définition de Q.

[Trapnest]

En effet, Q = "f n'est pas positive sur [0;2]", erreur corrigée, merci !

Je ne comprend pas tes réponses...

1) Comment peux tu trouver des réponses différentes pour a) et b) alors qu'ils signifient la même chose ?

2) Comment une fonction peut-elle être à la fois définie sur un intervalle donnée sans être continue sur celui-ci ? Un exemple ?

3) Pour le d), je suis d'accord avec toi, mais que dis-tu du fait que l'on puisse écrire la proposition sous 2 formes différentes contradictoires ?

[Titahn]

1)Nope, ce n'est pas la même chose. Dans le a) on dit que soit f est positive sur l'intervalle (sur TOUT l'intervalle), soit elle est négative. Alors que dans le b elle peut être un coup négative un coup positive, autant que ça lui chante, tant qu'elle n'est pas égale à 0. Du coup sir f(x)=E(x-1)+0.5, elle satisfait b) mais pas a)

2)Cf partie entière ;)

3)"Rien n'est égal à..." et "Tout est différent de..." c'est la même chose, donc tu l'as écrit sous deux formes différentes certes, mais qui ont exactement le même sens =)

[Trapnest]

1) Je ne suis pas d'accord étant donné que l'on a pas le droit de passer par 0. Si une fonction est positive sur une partie de l'intervalle [0;2], et que l'on veut qu'elle soit négative sur le reste, on doit la faire passer par 0, ou alors lui faire faire un "bond", comme la fonction inverse, auquel cas elle n'est plus définie sur tout l'intervalle...

2) Partie entière ?

3) Oui, ces deux formes ont le même sens mais leur négation est en théorie différente... Laquelle choisir alors ?

[Titahn]

1)Il faut en effet lui faire faire un bon, mais elle peut être définie quand même.

La fonction partie entière se définie comme :

E(x)= n tel que n<=x
Donc E(1.5)=1, E(-0.2)=-1

Donc si on reprend ma fonction de tout à l'heure : f(x)=E(x-1)+0.5

Sur [0;1[, f(x)=-0.5
Sur [1;2[; f(x)=0.5
Et f(2)=1.5

Elle est définie sur [0;2] mais est un coup positive, un coup négative ;).

2)Cf 1)

3)Les deux sont bonnes, faut juste que tu prenne l'explication de la seconde, si tu utilises la première formulation

[Trapnest]

D'accord je vois mieux ce que tu veux dire, en réalité nous n'avons jamais étudié cette fonction d'où ma première intuition.

Je vais tenter la première formulation pour la (d) oui, mais il y a à coup sur un problème avec mon cours, la négation de "aucun" ne peut pas être "tous" si la négation de "tous" est "au moins un", c'est totalement illogique et ça va a l'encontre de la règle non(nonP) = P. Quelqu'un peut-il me confirmer qu'il s'agit d'une erreur, ou bien m'expliquer ?

Enfin, que penses tu de la (e) ?

Merci

[Titahn]

Tu n'as pas besoin d'une fonction classique existante, tu peux très bien toi même définir ta fonction :

f(x)=-8 sur [0;1]
f(x)=42 sur ]1;2], et voilà, t'as une fonction définie sur [0;2] qui respecte (b) mais pas (a) ;).

Et la négation de "aucun" comme la négation de "tous", c'est "au moins un" :
Tous les murs sont noir -> au moins un mur n'est pas noir
Aucun mur est noir -> au moins un mur est noir

Quant à la (e) le début est bien, mais pas besoin de te prendre la tête avec un 0. Si tu as une fonction f qui est un coup positive, un coup négative, alors f respecte la négation de Q (en effet, f n'est pas négative sur l'intervalle). Du coup si la négation de Q était bonne, f ne devrait pas respecter Q. Or f respecte aussi Q (f n'est pas positive sur l'intervalle), donc la négation est fausse (et en effet, tu as donné la bonne négation).

[Trapnest]

D'accord, merci de ton aide !