Matrice

[biomel]

Bonjour à tous,
Voilà je dois montrer que la matrice P est inversible et calculer P-1. Or une méthode est imposé je n'arrive donc plus a trouver P-1.
Voici l'énoncé :
Soit X= [x y z] X' = [x' y' z']
P =[1 1 4 , 1 -1 2 , 1 1 1 ]
Il faut poser l'équation PX=X' et on est censé obtenir une et une seule solution ( x,y,z) qui prouve que P est inversible et permet d'en déduire P-1.

Or moi je trouve des solutions en fonction de x', y', z' donc je suis un peu perdue.

Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Bonjour à tous,
Voilà je dois montrer que la matrice P est inversible et calculer P-1. Or une méthode est imposé je n'arrive donc plus a trouver P-1.
Voici l'énoncé :
Soit X= [x y z] X' = [x' y' z']
P =[1 1 4 , 1 -1 2 , 1 1 1 ]
Il faut poser l'équation PX=X' et on est censé obtenir une et une seule solution ( x,y,z) qui prouve que P est inversible et permet d'en déduire P-1.

Or moi je trouve des solutions en fonction de x', y', z' donc je suis un peu perdue.

Merci d'avance pour votre aide.

salut
soit (x',y',z') fixé
si tu montres qu'il existe un seul triplet (x,y,z) qui vérifie les égalités, c'est gagné.
Bien-sûr, x, y et z s'expriment en fonction de x', y' et z'
Par exemple si (x',y',z')=(1,1,0) alors (x,y,z)=(0,-1/3,1/3)

[Kiocle]

Ton calcul revient en fait à chercher l'application réciproque de l'application associé à P,
Tu obtient d'abord un système ou (x, y, z) sont exprimer en fonction de P, ensuite tu renverse ce système (avec un pivot de Gauss ou une substitution) pour obtenir (x', y', z') en fonction de x, y, z.

Si tu obtient une expression unique de (x', y', z') alors ta matrice est inversible et P-1 est la matrice associé à l'application réciproque que tu as trouver en renversant le système.

J'espère avoir été claire.

[biomel]

En fait j'ai d'abord calculé PX et après j'ai posé le système suivant :
x+y+4z=x'
x-y+2z=y'
x+y+z=z'

Est ce que ce système est juste ?

[Kiocle]

Oui ce système est juste il suffit d'obtenir x = ... y=... z=... en tranformant ces équations pour obtenir la réciproque si elle existe. L'existence de la réciproque justifie l'inversibilité de P.

[biomel]

Je trouve :
Z= (;) - x´)/-2
Y=(2y' -x´-;))/2
X= (-x´-2y'-3;))/2

Est ce bien ça ? Si c'est juste je ne vois pas comment en déduire p-1 !

Merci de votre aide

[Kiocle]

Je pense qu'il doit y avoir une erreur de calcul, je trouve
x= (-x' +y' + 2z')/2
y= (2z' -3y' +x')/6
z= (x' - z')/3

Donc (x,y,z) est définie de façons unique pour chaque (x' , y', z')
Donc tu a trouver l'application réciproque , qui est :

Donc
Alors la matrice de cette application linéaire est la matrice réciproque de P. Comme alors

[biomel]

D'accord, je me suis corrigé je retrouve la même.
Merci beaucoup pour votre aide