Application injective, surjective, bijective

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 15:36

Bonjour à tous, voila je suis en train de bosser mes cours pour l'année qui arrive, et je me posais cette question:
Il est dit qu'une application bijective est une application à la fois surjective et injective.
En prenant une application bijective E -> F, cela signifie-t-il qu'il existe, pour tout élément y e F, un antécédent x e E unique ? ( le e signifie "appartenant à")

Merci d'avance pour vos réponses !

edit: j'insiste bien sur le "unique", c'est la que je ne suis pas certain

par **Sourire_banane** » 23 Juil 2013, 15:45

Salut, c'est tout à fait ça ! :happy2:

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 15:51

Merci de la réponse ! :we:
Autre petite question, existe-t-il un application telle que ( j'ai fait un petit montage, je ne saurais bien m'expliquer):
http://puu.sh/3JMM9.png
Existe-t-il une application comme celle que j'ai "dessiné" à droite ( à coté du point d'interrogation ?)

par **chan79** » 23 Juil 2013, 15:55

salut
h est une injection, tout simplement, puisque deux éléments différents de l'ensemble de départ ont toujours des images différentes

par **Sourire_banane** » 23 Juil 2013, 15:56

C'est ce qu'on appelle une injection. En fait, tu te méprends sur l'ordre des éléments, qui n'a aucune importance. Aussi, le cardinal de l'ensemble d'arrivée est-il nécessairement plus grand ou égal (égalité <=> bijection) à celui de l'ensemble de départ. Donc un élément de l'ensemble d'arrivée a au plus 1 antécédent (c-à-d 1 ou 0).

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 15:57

Ok merci à tous pour vos réponses :we:

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 15:59

Sourire_banane a écrit:C'est ce qu'on appelle une injection. En fait, tu te méprends sur l'ordre des éléments, qui n'a aucune importance. Aussi, le cardinal de l'ensemble d'arrivée est-il nécessairement plus grand ou égal (égalité bijection) à celui de l'ensemble de départ. Donc un élément de l'ensemble d'arrivée a au plus 1 antécédent (c-à-d 1 ou 0).

Oui je me suis fait un petit mémo ( surjection, avec le préfixe "sur" pour le surnombre d'élements de l'ensemble de départs etc )
Mais ce que j'essaie d'exprimer, c'est que par exemple l'ensemble de départs à le meme nombre d'éléments que celui d'arrivée, mais que Im f =/= F ( ou plutot que certains éléments de l'ensemble d'arrivée n'ont pas d'antécédents )

Qu'en est-il de cette application ?

par **Sourire_banane** » 23 Juil 2013, 16:08

Chaque élément de l'ensemble de départ est nécessairement "transformé" par ton application.
Si tu veux que Im(f)=!F avec F l'ensemble d'arrivée, il faut impérativement que card(Im(f))<=Card(E) avec la condition Card(E)=Card(F). Tu seras donc en présence d'une application qui n'est ni injective (car un élément de F peut être pris deux fois par exemple) ni surjective (car le cardinal de l'ensemble d'arrivée n'est pas plus grand que celui de l'ensemble de départ et donc tous les éléments de F ne seront pas forcément pris).

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 16:14

Sourire_banane a écrit:Chaque élément de l'ensemble de départ est nécessairement "transformé" par ton application.
Si tu veux que Im(f)=!F avec F l'ensemble d'arrivée, il faut impérativement que card(Im(f))<=Card(E) avec la condition Card(E)=Card(F). Tu seras donc en présence d'une application qui n'est ni injective (car un élément de F peut être pris deux fois par exemple) ni surjective (car le cardinal de l'ensemble d'arrivée n'est pas plus grand que celui de l'ensemble de départ et donc tous les éléments de F ne seront pas forcément pris).

Ce genre d'application existe-t-il ?
C'est une injection avec card(F)<card(E), donc au final c'est une erreur dans le choix de l'ensemble F ?

par **chan79** » 23 Juil 2013, 18:53

Juste une remarque: on peut construire une bijection de

dans

par **trablazar** » 23 Juil 2013, 19:22

chan79 a écrit:Juste une remarque: on peut construire une bijection de dans

En ayant le meme nombres de termes ?

par **Luc** » 23 Juil 2013, 20:11

trablazar a écrit:En ayant le meme nombres de termes ?

En fait ce que voulait te dire chan79, c'est que N et Z ont même cardinal, ils ont même "nombre d'éléments" si tu veux. C'est pour montrer qu'il faut faire un peu attention à la définition du cardinal pour des ensembles infinis, le "nombre d'éléments" n'a pas le même sens que pour des ensembles finis.
Pour des ensembles finis, le cardinal, c'est le nombre d'éléments, et deux ensembles finis sont en bijection si et seulement si ils ont même cardinal, ie même nombre d'éléments.

Concernant l'application que tu considères, il en existe, pour en construire tu peux par exemple prendre n'importe quelle application surjective non bijective s de E dans F, avec card(F) F injective, alors forcément f est surjective (donc bijective). De même, si tu disposes de g :E -> F surjective, alors forcément g est injective (donc bijective).

Ce type d'argument est très utile en algèbre : un argument similaire est très souvent utilisé en algèbre linéaire de dimension finie (la dimension finie jouant le rôle du cardinal fini).

par **trablazar** » 24 Juil 2013, 12:28

Merci beaucoup pour ta réponse, Luc, tout est devenu plus clair !
Bonne journée et encore merci à tous pour vos réponses et le temps que vous m'avez accordé :we:

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