Calcul simple (expression=0)

[Yozamu]

Bonjour à tous.
Ma question va paraitre idiote mais...

J'ai totalement oublié comment on trouve les valeurs d'une inconnue quand l'expression doit etre egale a 0 ... (j'ai honte.)

Par exemple j'ai l'expression:
a^3-3a+2=0

Comment trouver que les solutions sont a=1 et a=-2 ?

Je sais meme plus s'il y a une regle generale...

Merci d'avance

[Arnaud-29-31]

C'est un polynôme. Tu surement as appris en première une méthode pour ceux de degré 2 (discriminant)
Pour le degré 3 on peut voir une racine évidente puis factoriser. On a aussi ce que l'on appelle méthode de Cardan pour le degré 3. Il a été prouvé qu'il n'y pas de méthode de résolution par radicaux au delà du degré 5.

[Yozamu]

Oui, je me rappellais du discriminant. En voyant le polynome de degrè 3 j'ai paniqué et je me suis dit que j'avais surement oublié l'existence d'une formule générale.

Je pense que je vais regarder la méthode de Cardan, parce que j'ai du mal à voir la racine évidente

EDIT: Euh finalement, elle est vraiment pas évidente cette méthode.. Je serai pas contre trouver cette racine évidente finalement..

[chan79]

Bonjour à tous.
Ma question va paraitre idiote mais...

J'ai totalement oublié comment on trouve les valeurs d'une inconnue quand l'expression doit etre egale a 0 ... (j'ai honte.)

Par exemple j'ai l'expression:
a^3-3a+2=0

Comment trouver que les solutions sont a=1 et a=-2 ?

Je sais meme plus s'il y a une regle generale...

Merci d'avance

s'il y a des solutions entières, ce sont des diviseurs du terme constant qui est 2
Donc, on peut tester 1, -1, 2 et -2

[Arnaud-29-31]

La méthode de Cardan c'est pour la culture générale, elle est très simple lorsqu'on a compris le principe (même si l'expression des formules dans le cas général peut effrayer) mais je ne l'ai jamais vu lors de ma scolarité.

[Yozamu]

s'il y a des solutions entières, ce sont des diviseurs du terme constant qui est 2
Donc, on peut tester 1, -1, 2 et -2

Ceci serait il en quelque sorte une règle générale pour les solutions qui seraient des entiers ?
Dans quelles conditions peut on dire ça? (Pour tout a entier ? Et si on rajoutait un autre terme comme 4a², cela marcherait il quand meme?)

Et puis, pourquoi teste-on 1,2,-1,-2 et pas seulement 1 et 2?

Dernierement, c'est pratique ici puisque j'ai deja la solution, mais les solutions ne sont pas forcément des entiers, alors comment faire ?


EDIT: effectivement la méthode de Cardan me parait.. Un peu effrayante. Déjà que j'ai du mal avec les maths, pas besoin de me créer encore plus de problème. Mais je ne trouve quand meme pas la racine et la factorisation dont tu parlais

[capetien53]

la meilleure solution est de proceder par tatonnement car c'est aussi le mensonge qui fait la vérité en mathématiques

[chan79]

Ceci serait il en quelque sorte une règle générale pour les solutions qui seraient des entiers ?
Dans quelles conditions peut on dire ça? (Pour tout a entier ? Et si on rajoutait un autre terme comme 4a², cela marcherait il quand meme?)

Supposons qu'un polynôme à coefficients entiers ait une solution entière m (je prends par exemple un polynôme de degré 3)
am³+bm²+cm+d=0
m(am²+bm+c)=-d
m est un diviseur de d (dans Z)

[Yozamu]

Supposons qu'un polynôme à coefficients entiers ait une solution entière m (je prends par exemple un polynôme de degré 3)
am³+bm²+cm+d=0
m(am²+bm+c)=-d
m est un diviseur de d (dans Z)

D'accord. Cependant ici, le paramètre a appartient à R donc je ne peux pas appliquer ceci avec certitude de trouver toutes les solutions non?


J'ai comme résultat sous forme factorisée (x-1)²(x+2)
Cependant, je ne vois pas comment passer de ma forme d'origine à celle ci?

[chan79]

D'accord. Cependant ici, le paramètre a appartient à R donc je ne peux pas appliquer ceci avec certitude de trouver toutes les solutions non?


J'ai comme résultat sous forme factorisée (x-1)²(x+2)
Cependant, je ne vois pas comment passer de ma forme d'origine à celle ci?

Ce que j'ai dit ne marche que si les coefficients sont entiers. Ca permet de trouver des solutions si elles sont entières.
Si tu sais que 1 et -2 sont des solutions, tu peux écrire
x³-3x+2=(x-2)(x+2)(x+a) et déterminer a par identification
Pas évident sinon
On pourrait écrire :
x³-3x+2=x³-x²+x²-x-2x+2=x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)(x²-x+2x-2)=(x-1)(x(x-1)+2(x-1))=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2)
Mais bon, c'est parce qu'on connait les solutions ...