Algèbre- Systeme linéaires explications cours

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Je cherche à comprendre une notion plus ou moins importante du cours sur les systemes lineaires...

Je ne comprends pas la différence entre variable libre et liée, et qu'est-ce qu'une inconnue liée?
Par exemple pour le systeme suivant:
x + z = ;)1
y ;) 2z = 2
x et y sont variables liées car elles ont une valeur fixe(-1-z et 2+2z) et z est variable libre car elle prend n'importe quelle valeur dans R, c'est ça ?
Dans ce cas je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas dire plutot que z est liée et x libre par exemple, avec z=-1-x ?
J'attends en fait des explications parce que je ne saurais pas, tout seul, reconnaitre des variables libres ou liées, et d'ailleurs, j'aimerais au passage savoir quelle est l'influence d'etre libre ou liée?
Et concernant les inconnues liées, je ne sais meme pas si on peut aussi parler d'inconnues libres ou pas, et je ne connais meme pas le concept.

J'espere avoir été clair; pour toute question, n'hésitez pas.

Merci d'avance pour vos explications.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Le choix des variables directrices est effectivement arbitraire. C'est celles que l'on choisit d'exprimer en fonction des autres qui elles seront dites libres.
Pour la question de l'influence d'avoir ou non des variables libres, cela te donne juste la tête de l'ensemble des solutions (un point, un espace de dimension 1 ? 2 ? ...) on peut faire le lien avec le rang de la matrice qui décrits le système.

[Yozamu]

Bonjour et merci de la réponse.

Je ne comprends pas la deuxieme partie de la réponse:
- Je ne vois pas en quoi la tete de l'ensemble des solutions changera si on prend telle ou telle variable en tant que variable libre?
- Je ne comprends pas ce qu'est le lien avec le rang de la matrice qui décrit le systeme

[Arnaud-29-31]

Ce n'est pas ce que j'ai dis, l'ensemble des solution est tel qu'il est ce n'est pas le choix de la variable libre qui va le changer. Par contre le nombre de variable libre t'indique si ton ensemble de solution est un point, une droite, un plan.
Le rang c'est bien la dimension de l'ensemble des images de la matrice du système.

[Yozamu]

Pour le rang --> Pourquoi ? J'ai pas tout a fait compris cette histoire de rang alors je comprends pas pourquoi c'est la dimension de l'ensemble des solutions..

Et je ne comprends pas non plus pourquoi c'est le nombre de variable libre qui indique si l'ensemble de solution est une droite ou quoi que ce soit d'autre..

[Arnaud-29-31]

Dans ton exemple du début, on a bien 2 variables directrices et une libre.
Et ce système décrit bien une droite en 3D. (Equations de deux plans)

Une variable libre donne un degré de liberté, deux variables libre deux degrés de liberté ...

[Yozamu]

Ah oui je comprends mieux, merci!
Pour le cas d'une variable libre, par exemple dans le systeme que jai donné, je vois bien en quoi ça donne un degrè de liberté, mais je vois pas de cas concret pour deux ou trois variables libres ce que ça fait..

[Arnaud-29-31]

Toujours en 3D, si le système est simplement y=x

On a z variable libre, on en a une autre, au choix x ou y. Prenons y, il ne reste plus que x variable directrice (ou liée).
Ici l'ensemble des solution est un plan.

[Yozamu]

D'accord, je vois.

Et qu'en est il pour une "plus grosse" équation?
Par exemple s'il y a 8 variables liées ou libres (je ne sais pas comment on peut les choisir), qu'est-ce que cela représente?

[Arnaud-29-31]

Si je dis pas de bêtises, aucune variable libre signifie que la solution est un point, 1 variable libre signifie que l'ensemble des solution est un espace de dim 1, 2 variables libres un espace de dim 2 etc ...

[Yozamu]

D'accord.
D'ou ma question suivante:
Si 0 variable libre, donc pas de degrè de liberté, donc une seule solution c'est ça ?
Et si 4 variables libres ou plus, comment on peut avoir un ensemble de solution qui soit un espace de dim plus que 3?

[Arnaud-29-31]

Oui si pas de variable libre, on a un point.
Ta deuxième question je ne comprends pas ce que tu veux dire ...

[Yozamu]

"Si je dis pas de bêtises, aucune variable libre signifie que la solution est un point, 1 variable libre signifie que l'ensemble des solution est un espace de dim 1, 2 variables libres un espace de dim 2 etc ..."

Si 2 variables libres donnent un espace de dim 2, 3 un espace de dim 3, alors qu'en est-il de 4 ou plus variables libres?
On ne peut pas avoir un espace de plus de dim 3?

EDIT: d'ailleurs s'il y a une variable libre, c'est une droite, deux variables libres un plan, mais trois variables libres, un espace de dim 3... Ca signifie quoi ? La solution est quoi concrètement? Et meme question pour plus de variables libres

[Arnaud-29-31]

Attention, on peut avoir des espaces de dimension supérieur à trois, on ne travaille pas toujours dans .

[Yozamu]

Ah bon ?

Comment se modélise un espace de dimension supérieur à 3 ? par exemple un espace de dimension 5 ?

[Arnaud-29-31]

Un espace de dimension 3 c'est un espace qui contient des vecteurs de la forme , un espace de dimension 5 c'est un espace qui contient des vecteur de la forme .

Si tu travaille dans tu as trois variables qui sont x,y et z, tu ne peut pas en avoir plus.

[Yozamu]

Et donc si le vecteur est de la forme x1,x2,x3,x4,x5...
Comment pourrait on le tracer ?

Pour moi, x1=x=abscisse
x2=y=ordonnée
x3=z=hauteur
et x4 et x5 .?

[Arnaud-29-31]

Ca ne se trace pas ... 'est juste que les maths ne se limites pas à l'espace.
Après tu auras certainement que des système 3x3 donc dans l'espace. Mais c'était pour répondre à ta question pour plus de 3 variables : ce n'est possible que si l'espace dans lequel on travaille est de dimension supérieure à 3.

[Yozamu]

D'accord, merci pour les explications!