Démonstration d'une égalité

[Kikoo <3 Bieber]

Yo les amis !

Je suis amené à considérer l'inégalité suivante, pour tous :

.

Je veux montrer qu'il y a égalité à droite si, et seulement si, .
Mais ma démo me semble un peu bizarre. C'est pour cela que je vous demande votre avis.

Démo :
(mais je suis pas sûr...)
Ainsi,
De plus, .
Comme k appartient à l'ensemble des réels positifs, cela nous permet d'établir le fait que , d'où le résultat attendu.

Mais je sais pas si c'est juste et rigoureux, voilà.

[Joker62]

Salut !

Pour t dans R, pose P(t) = |z_1 + t*z_2|^2

P est un trinôme du second degré. Développe le, calcule son discriminant et justifie que son discriminant est négatif ou nul.

En déduire aussi que ton inégalité est une égalité seulement si le discriminant est nul.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut !

Pour t dans R, pose P(t) = |z_1 + t*z_2|^2

P est un trinôme du second degré. Développe le, calcule son discriminant et justifie que son discriminant est négatif ou nul.

En déduire aussi que ton inégalité est une égalité seulement si le discriminant est nul.

Salut Joker

cela me donne bieng mais je vois pas en fonction de quoi calculer le discriminant. En bref, quelle est la variable dans cette expression ?

[Joker62]

La variable est t

Il reste donc à calculer le discriminant qui est forcément négatif ou nul car P(t) >= 0 (Donc au plus une racine)

[Kikoo <3 Bieber]

Ah oui, j'avais oublié de multiplier et par lors d'une étape !
Merci beaucoup !

[Joker62]

En fait je crois que je t'ai raconté absolument n'importe quoi

C'est pas pour cette inégalité qu'il faut faire ça
Je te prie de bien vouloir m'excuser

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire

[Kikoo <3 Bieber]

En fait je crois que je t'ai raconté absolument n'importe quoi

C'est pas pour cette inégalité qu'il faut faire ça
Je te prie de bien vouloir m'excuser

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire

Haaan ^^ Mais ce n'est rien !

Est-ce que la démo que j'ai posté en haut est cependant toujours valide ?

[Joker62]

Alors il y a une erreur d'écriture avec le P = {}
On ne sait pas pourquoi tu l'appelles P et que tu utilises une équivalence avec.

C'est comme si je disais : Demain il pleut si et seulement si cacahuète

Donc on doit démontrer une équivalence, on le fait donc en deux étapes : sens réciproque et sens direct.

Tu essaies pour l'instant de prouver le sens réciproque.
Je pense qu'il est plus raisonnable de passer par la forme exponentielle ou l'argument apparaît vraiment.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, je suis pas très familier avec ce genre de choses, c'est pour cela que je demandais un avis sur la validité de la démo, manquant affreusement de sens logique ! ;)

P désigne une proposition : "il existe un k de R tel que pour tout couple z1 et z2 de complexes, le fait que les arguments de ces complexes soient égaux équivaut au fait que z2=kz1".

Mais là encore, je ne suis pas sûr que cette affirmation soit juste, et il faudrait peut-être la démontrer avant de démontrer l'égalité.

Edit : ok, pour la forme expoonentielle. Elle est explicitée par le lien wiki que tu m'as donné.

[Joker62]

Une proposition ne se note pas entre accolades. Il ne s'agit pas d'un ensemble.

De plus la proposition telle que tu la cites est fausse.
Il y a une erreur de quantificateur.

Si z_1 et z_2 ont même argument modulo [2;)], ce n'est pas qu'il existe k positif tel que POUR TOUT z_1 et z_2

il faut enlever le POUR_TOUT

[Kikoo <3 Bieber]

D'accord, est-ce bon si j'écris ainsi ? :

[Joker62]

Oui c'est très bien comme ça :)

[Kikoo <3 Bieber]

C'est génial, merci beaucoup !

Et une question dans le vif, comme ça (si cela ne te dérange pas !) :

Je n'arrive pas à passer de à

[Joker62]

C'est normal. Comme c'est écrit c'est faux.

Il manque un signe "-" dans l'exposant du second.

On a e^(ix) = cos(x) + isin(x)

Calcule e^(ix) - e^(-ix)

En sachant que cos(-x) = cos(x) et sin(-x ) = - sin(x)

[Kikoo <3 Bieber]

Tout à fait, j'ai fait une faute en tapant !

Pfff... cos(x)=cos(-x) et sin(-x)=-sin(x)...

Je pense qu'il va falloir que j'arrête de me coucher à 1h du mat ^^'
Merci encore et à bientôt !

[benekire2]

En fait je crois que je t'ai raconté absolument n'importe quoi

C'est pas pour cette inégalité qu'il faut faire ça

Pas grave, notre ami Kikoo va maintenant nous démontrer l'inégalité de Cauchy Scwarz, a savoir :



et il nous parlera du cas d'égalité

PS. Cela dit j'ai peur que tu écrive , propose une preuve et je répondrais,

[Kikoo <3 Bieber]

Salut !

Me faut-il de la théorie avant de pouvoir démontrer cette inégalité ? Je viens de quitter la TS ^^

[benekire2]

Non, on va dire qu'il faut juste connaître la bilinéarité du produit scalaire, et ses propriétés usuelles. Pas de définitions du genre u.v= ...
Disons, que on sait juste que :
- Si alors
-
-
- pour tout a, b, réels

- pour tout a,b, réels


Presque tout a été fait par l'insaisissable Joker.

[Kikoo <3 Bieber]

Euh... Je crois saisir quelque chose en élevant tout au carré ! Mais alors je suis amené à définir le produit scalaire de la façon que tu ne voulais pas :p
J'utilise le fait que cos(x) est plus petit ou égal à 1 pour tout x.

Ps : les barres dans le membre de gauche sont-elles des valeurs absolues ?

Edit : Je retire...

Edit2 : en fait non. Rolala, j'arrive à rien ce soir :mur:

D'un autre côté, nous avons qui est supérieur ou égal (dans le cas où a et b sont colinéaires et de même sens), non ?

[benekire2]

As-tu utilisé le polynôme : ?

Si oui qu'as-tu cherché a faire ?