Loi binomiale

[ledragon95]

Bonsoir tout le monde !
J'ai un problème à faire un exercice donné sur la loi binomiale

L'exercice dit :

Un automobiliste effectue un parcours sur lequel se trouvent six feux tricolores qui fonctionnent chacun de manière autonome. Le cycle vert, orange,rouge de chacun de ces feux dure 1 minute. On note v la durée en secondes du vert. On note E l'évènement "sur son parcours, l'automobiliste rencontre exactement 3 feux verts"

1) Déterminer la probabilité de E lorsque v=30.
2) Peut-on avoir p(E)=0.5 ? Justifier.
3) Peut-on avoir p(E)=0.25 ? Justifier. (on donnera alors une valeur approchée de v arrondi à la seconde près)

Merci de votre aide !

[Iroh]

Salut, en notant v : la durée en seconde du feu vert. Tu sais que le feu ne prend que 3 couleurs et que le cycle dure 60 secondes.

Imagine qu'il n'y ait qu'un seul feu de signalisation, quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre un feu vert ?

[ledragon95]

Salut, en notant v : la durée en seconde du feu vert. Tu sais que le feu ne prend que 3 couleurs et que le cycle dure 60 secondes.

Imagine qu'il n'y ait qu'un seul feu de signalisation, quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre un feu vert ?

La probabilité que l'automobiliste rencontre un feu vert lorsque qu'il n'y a qu'un seul feu c'est 1/3
Donc si il doit rencontrer exactement 3 feux verts sur 6 c'est (1/3)^3x(2/3)^3 (enfin je pense :/)
Mais c'est la durée qui me pose problème

[Iroh]

La probabilité que l'automobiliste rencontre un feu vert lorsque qu'il n'y a qu'un seul feu c'est 1/3
Donc si il doit rencontrer exactement 3 feux verts sur 6 c'est (1/3)^3x(2/3)^3 (enfin je pense :/)
Mais c'est la durée qui me pose problème

Non ce n'est pas 1/3, ça dépend du temps que le feu vert reste allumé, donc de v. Sinon le reste de ton raisonnement est correct.

[ledragon95]

Non ce n'est pas 1/3, ça dépend du temps que le feu vert reste allumé, donc de v. Sinon le reste de ton raisonnement est correct.

Mais justement je n'arrive pas à déterminer la probabilité de E lorsque v=30 parce que je n'arrive pas à introduire le temps :S

[Iroh]

Mais justement je n'arrive pas à déterminer la probabilité de E lorsque v=30 parce que je n'arrive pas à introduire le temps :S

Si tu supposes que v=30, et que le feu est orange pendant 10 secondes et rouges pendant 20 secondes. Quelle est la probabilité que l'automobiliste tombe sur un feu vert ?

[ledragon95]

Si tu supposes que v=30, et que le feu est orange pendant 10 secondes et rouges pendant 20 secondes. Quelle est la probabilité que l'automobiliste tombe sur un feu vert ?

Je ne l'avais pas compris de cette manière ! Merci beaucoup !
Donc la p(E) lorsque v=30 c'est (1/3)^3x(1/2)^3 soit 1/216 ?

[Iroh]

Je ne l'avais pas compris de cette manière ! Merci beaucoup !
Donc la p(E) lorsque v=30 c'est (1/3)^3x(1/2)^3 soit 1/216 ?

Si je te dis que la probabilité que l'automobiliste tombe sur un feu vert est de v/60.

La probabilité de l'autom. tombe sur 3 feu vert: t'as plusieurs possibilités: (V = vert, C = autre couleur),
VVVAAA, AVVVAA, VAAAVV, ...
La proba de chacune des possibilités vaut: .
Le nombre de possibilités: nombre de permutations de 6 éléments dont k1=3 et k2=3 sont non distincts = Comme qu'il n'y a que deux types d'élements, t'as que c'est aussi égal à

Si X est une variable aléatoire qui compte le nombre de feux verts sur lesquels l'autom. est tombé.

T'as donc P[E] = P[X=3] = ?

Le résultat doit te faire penser à la loi binomiale.

[ledragon95]

Si je te dis que la probabilité que l'automobiliste tombe sur un feu vert est de v/60.

La probabilité de l'autom. tombe sur 3 feu vert: t'as plusieurs possibilités: (V = vert, C = autre couleur),
VVVAAA, AVVVAA, VAAAVV, ...
La proba de la première c'est
Le nombre de possibilités: nombre de permutations de 6 éléments dont k1=3 et k2=3 sont non distincts = Comme qu'il n'y a que deux types d'élements, t'as que c'est aussi égal à

Si X est une variable aléatoire qui compte le nombre de feux verts sur lesquels l'autom. est tombé.

T'as donc P[E] = P[X=3] = ?

Le résultat doit te faire penser à la loi binomiale.

Je te remercie fortement Iroh ! J'ai remarqué également que lorsque v= 30, c'est-à-dire que sur chaque feux le cycle vert est allumé 30 secondes soit la moitié du temps qu'un feu tricolore met pour allumer ses 3 cycles. Donc sur les 6 feux, 1:2 du temps est réservé au cycle vert. Alors pour avoir exactement 3 feux verts sur le parcours de l'automobiliste:
p(E) lorsque v=30 est égale à (1/2)^6
Car il y a 6 feux avec 1/2 de réussite pour chaque feux et 1/2 d'échec également
Le résultat est 1/64

[Iroh]

Je te remercie fortement Iroh ! J'ai remarqué également que lorsque v= 30, c'est-à-dire que sur chaque feux le cycle vert est allumé 30 secondes soit la moitié du temps qu'un feu tricolore met pour allumer ses 3 cycles. Donc sur les 6 feux, 1:2 du temps est réservé au cycle vert. Alors pour avoir exactement 3 feux verts sur le parcours de l'automobiliste:
p(E) lorsque v=30 est égale à (1/2)^6
Car il y a 6 feux avec 1/2 de réussite pour chaque feux et 1/2 d'échec également
Le résultat est 1/64

N'oublie pas qu'il faut tenir en compte de plusieurs cas:
VVVAAA, VVAVAA, ...

P[E] = P["VVVAAA"] + P["VVAVAA"] + ...

Toutes les proba du membre de droite de l'égalité sont égales. Tu as cette proba qui vaut 1/64. Le nombre de termes correspond au nombre de possibilités qui vaut, comme marqué plus haut: .
T'as donc que P[X=3] = P[E] =

Et de manière générale, t'as que si X suit un loi binomiale de paramètres n et p (donc X ~ Bi(n,p)), t'as que:

[ledragon95]

N'oublie pas qu'il faut tenir en compte de plusieurs cas:
VVVAAA, VVAVAA, ...

P[E] = P["VVVAAA"] + P["VVAVAA"] + ...

Toutes les proba du membre de droite de l'égalité sont égales. Tu as cette proba qui vaut 1/64. Le nombre de termes correspond au nombre de possibilités qui vaut, comme marqué plus haut: .
T'as donc que P[X=3] = P[E] =

Et de manière générale, t'as que si X suit un loi binomiale de paramètres n, p (X ~ Bi(n,p)), t'as que:

Oui tu as tout à fait raison ! Merci beaucoup pour ton aide ! :we:

[Sandrah]

Bonjour,

Merci beaucoup à tous pour toutes les réponses, ça permet vraiment de dégager l'ombre qui plane sur la loi binominale!