On considère la fonction définie sur l'intervalle [0;+oo[ par:
f(0) = 1
f(x) = (1/2)x²(3 - 2lnx) + 1 si x > 0
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,i,j).
Partie A
1a) Calculer lim f(x) pour x=>0. Que peut on en déduire pour la fonction f ?
b) Déterminer la limite de f en +oo.
2a) Etudier la dérivabilité de f en 0.
b) Montrer que f est dérivable sur l'intervalle [0;+o[ et calculer f'(x) pour x>0, f' désignant la fonction dérivée f.
3) Etudier le sens de variation de f sur [0;+oo[, puis dresser son tableau de variations.
4) Montrer que l'équation f(x)=0 possède une solution unique sur l'intervalle [0;+oo[. Déterminer une valeur approchée de alpha décimale de 10^-2 près.
Partie B:
1) Calculer une équation de la tangeante D à la courbe C au point d'abscisse x=1.
2) On considère la fonction g : x => f(x) - 2x -1/2 définie sur l'intervalle [0;+oo[.
a)Calculer g'(x), puis g"(x) où g' et g" désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g. Etudier le sens de variation de g'. En déduire le signe de g'(x) sur [0;+o[.
b) Etudier le sens de variation de g.
En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangeante D.
3) Construire la courbe C et la tangeante D (unité grap 2cm)
Parti C:
1) n est un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n le réel I_n = (intégral) x² lnx dx (de 1 à 1/n) (on pourra utiliser une intégration par parties).
2)En déduire en fonction de l'entier n, l'aire A_n exprimé en cm² du domaine plan délimité par la courbe C, la tangeante D et les 2 droite d'équation x = 1/n et x=1
3) Calculer la lim A_n (en +oo) et interprété le résultat obtenu.
Mes réponses:
1) Pour x=>0:
Lim (1/2)x² = 0 lim 3 - 2lnx= +oo Donc lim f(x) = 0 * +oo = Indétermination (Je ne voi pas ce que je doit déduire exactement)
b)lim en +oo:
Lim (1/2)x² = +oo lim 3 - 2lnx = -oo Donc lim f(x) = -oo
2) f(0+h) = (1/2)h²(3 - 2ln h) + 1
(f(0+h)-f(0))/h = h²(3 - 2ln h) / h = h(3 - ln h) => lim lorsque h tend vers 0 = 0 donc f(x) est dérivable en 0
b) f'(x)= x(3-2lnx) + (1/2)x²(-2/x) = 3x - 2xlnx - x = 2x(1 - ln x)
3)f'(x)=0
=> x=0
=> 1 - lnx = 0 => ln x = 1 => x = e
f'(x)>0 sur ]0,e[
f'(x)=0 pour x=0 et x=e
f'(x)<0 sur ]e;+oo[
f(x) croit de 1 à f(e) sur ]0,e[
f(x) décroit de f(e) jusqu'en - sur ]e;+oo[.
4) f(x) croi sur un interval de 1 a e qui sont positif et decroit ensuite pour +oo jus'quen -oo donc elle passe une fois et une seule par 0. f(x) admet donc une unique solution alpha.
f(4)=2,819
f(5)=-1,735
f(4)>0 et f(5)<0 donc 4
f(4,69)=0,00066
Partie B:
1) y=f'(1)(x-1) + f(1) = 2(x-1) + 5/2 = 2x + 1/2
2)g'(x) = f'(x) - 2 = 2x - 2xlnx - 2
g"(x) = f"(x) = 2 - 2lnx - 2x/x = -2lnx
Je ne suis pas certain des ces dérivées :s
g"(x) = 0 <=> x = e(0) = 1
donc g"(x)>0 sur [0;1[ et g"(x)<0 sur ]1,+oo[
g'(x) croit donc sur [0,1[ et décroit sur ]1,+oo[ et g'(1)=0
g'(x) est donc pratiquement toujours <0
g'(x)<0 sur [0,1[]1,+oo[
On peut donc en déduire les variations de g(x):
g(x) est strictement décroissance sur [0,+oo[ et passe par 0 en 1
Merci d'avance