Une île déserte

[aviateurpilot]

salut

Sur une île déserte vivent 34 caméléons. Au départ 7 sont jaunes, 10 sont rouges et 17 sont verts. Lorsque deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur. Lorsque se rencontrent deux caméléons d'une même couleur il ne se passe rien. Au bout d'un an tous les caméléons sur l'île sont devenus de la même couleur. Laquelle ? (Il faut non seulement déterminer la couleur, mais aussi prouver que c'est la seule possible.)

[Matthieu Perrinel]

Salut,
j'ai trouvé ça comme réponse (ça m'a pris du temps, j'ai pas arrêter de me tromper en remplaçant les variables


Soient trois ensembles J,R et V
et trois évenements JR,JV et RV
A "t=0", n(J)=7, n(R)=10 et n(V)=17

JR->n(J)-=1; n(R)-=1; n(V)+=2;
JV->n(J)-=1; n(R)+=2; n(V)-=1;
RV->n(J)+=2; n(R)-=1; n(V)-=1;

Donc
n(J)=7+2RV-JR-JV
n(R)=10+2JV-RV-JR
n(V)=17+2JR-JV-RV

Si n(J)=34 n(R)=0 n(V)=0

*7+2RV-JR-JV=34
JV=-27+2RV-JR
*10+2JV-RV-JR=0
0=10+2*(-27+2RV-JR)-RV-JR
0=10-54+4RV-2JR-RV-JR
0=-44+3RV-3JR
3JR=-44+3RV
JR=44/3+RV
Or JR est entier
RV est entier
et 44/3 n'est pas entier, donc notre supposition de départ n'est pas bonne.

Si n(J)=0 n(R)=34 n(V)=0
*7+2*RV-JR-JV=0
JV=7+2*RV-JR
*10+2JV-RV-JR=34
10+2*(7+2RV-JR)-RV-JR=34
10+14+4RV-2JR-RV-JR=34
3RV-3JR=10
RV-JR=10/3
Or JR est entier
RV est entier
et 44/3 n'est pas entier, donc notre supposition de départ n'est pas bonne.

Si n(J)=0 n(R)=0 n(V)=34
*7+2*RV-JR-JV=0
JV=7+2*RV-JR
*10+2JV-RV-JR=0
10+2*(7+2RV-JR)-RV-JR=0
10+14+4RV-2JR-RV-JR=0
3RV=3JR-24
RV=JR-8
*17+2JR-JV-RV=34
17+2JR-(7+2RV-JR)-RV=34
17+2JR-7-2RV+JR-RV=34
3JR-3RV=24
JR-RV=8
Ici, il n'y a pas d'aberration, même si nous n'obtenons pas de résultats ce qui est surement normalcar il doit y avoir plusieurs manières de faire.
JV=7+2RV-JR
JV=7+2*(JR-8)-JR
JV=7+JR-16
JV=JR-9

Par contre, il y a quand même une autre restriction: JR>0, JV>0 et RV>0
JV>0
JR-9>0
JR>9

Pour vérifier que cette situation est possible, prenant un exemple

evenement, n(J), n(R), n(V)
, 7, 10, 17
7*JR, 0, 3, 31
2*RV, 4, 1, 29
JV, 3, 3, 27
3*JR, 0, 0, 30

Comme il y a 6 cycle identité (JR RV JV, JR JV RV, JV RV JR, JV JR RV, RV JR JV, RV JV JR) il y a une infinité de possibilités.

[aviateurpilot]

j'ai pas compris ça:

JR->n(J)-=1; n(R)-=1; n(V)+=2;
JV->n(J)-=1; n(R)+=2; n(V)-=1;
RV->n(J)+=2; n(R)-=1; n(V)-=1;

[Patastronch]

j'ai pas compris ça:

JR->n(J)-=1; n(R)-=1; n(V)+=2;
JV->n(J)-=1; n(R)+=2; n(V)-=1;
RV->n(J)+=2; n(R)-=1; n(V)-=1;

C est un formalisme de programmation :

a+=1 veut dire a=a+1

de meme pour -=

donc :

JR->n(J)-=1; n(R)-=1; n(V)+=2;

veut dire :

Lorsqu'un jaune rencontre un rouge, le nombre de jaune décroit de un, le nombre de rouge décroit de un et le nombre de vert croit de 2.

[scelerat]

Apres une petite priere a Saint Etienne :
Soit a le nombre de rencontres creant 2 cameleons jaunes, b le nombre creant 2 cameleons rouges, c deux verts. La variation d1 du nombre de jaunes est 2a-b-c, celle d2 du nombre de rouges -a+2b-c (et d3 pour les verts vaut -a-b+2c, mais c'est redondant). On note que 2d2+d1=3b-3c Or {d1,d2,d3} = {-7, -10,17}, {27,-10,-17}, ou [-7,24,-17} , et 2d2+d1 vaut donc -27, 7 ou 41. Seul -27 est divisible par 3, donc jaune ou rouge ne sont pas possibles.
Donc, on fait se rencontrer 7 jaunes avec 7 rouges, on a 31 verts et 3 rouges qui restent. On envoie un des trois rouges vers les verts, il nous revient 2 jaunes qu'on marie avec les deux rouges restants, et le tour est joue.

[Matthieu Perrinel]

Merci d'avoir explicité ma notation patastronch, j'avais oublié que ce n'était pas une notation très mathématique... La façon dont l'a présenté scelerat est effectivement beaucoup plus propre que la mienne.

[aviateurpilot]

a caméléons J ; b caméléons r ; c caméléons v (a,b,c)
à chaque fois (a,b,c) se tranforme à (a',b',c')
on lui ajoutant ou ou

a t=0 on a B(7,10,17)
a t=an on aura A=(7,0,0) ou (0,10,0) ou (0,0,17)

or on a
donc on peux simplifier par un
donc (1)
ou (2)
ou (3)

dans (1) on va surement arriver annuler les caméléons j donc x+y=7
dans (2) on va surement arriver annuler les caméléons r donc x+y=10
dans (3) on va surement arriver annuler les caméléons v donc x+y=17

(1)=>A=(0,2y-x+10,2x-y+17)
(2)=>A=(7+2y-x,0,2x-y+17)
(3)=>A=(7+2y-x,2x-y+10,0)

je vous laisse continuer car j'ai cassé ma tete et je ne peux plus continuer meme s'il ne rest que resoudre un petit systeme:marteau:

ça dans le cas ou j'ai pas fais d'erreur :help: