Equation polynômiale sympa

[Doraki]

Est-il possible de déterminer l'expression d'un polynôme P telle que sa fonction associée u(P) soit identiquement nulle sur Z/2012Z ?

D'où sort cette question ?

[Dinozzo13]

Tu peux essayer de finir. Je commence :

Oui, je sais que mais je veux juste trouver les coefficients de P dans Z/2012Z.

@Doraki : C'est une question que je me suis posé.

[Judoboy]

Oui, je sais que mais je veux juste trouver les coefficients de P dans Z/2012Z.

Regarde du côté des relations coefficients/racines, tu dois avoir un truc là-dessus dans ton cours.

[Doraki]

Ben oui c'est possible mais c'est un peu compliqué à expliciter.

Pour commencer il faut se dire que être multiple de 2012 c'est la même chose qu'être multiple de 503 et multiple de 4.
Donc il faut calculer l'idéal I de Z[X] constitué des polynômes induisant la fonction polynomiale nulle sur Z/503Z, puis l'idéal J de Z[X] constitué de ceux qui donnent la fonction nulle sur Z/4Z, et enfin calculer leur intersection.

Pour I c'est pas trop dur, parceque Z/503Z est un corps et du coup on connaît facilement les polynomes de (Z/503Z)[X] qui donnent la fonction polynomiale nulle.

Mais après ça se corse un peu.

[Dinozzo13]

Oui, c'est pour ça, je me demandais si c'était possiblement simple de trovuer ces coefficients.
Après c'est une curiosité ^^