Equation polynômiale sympa

[Dinozzo13]

Bonsoir, j'aurai besoin d'une aide astucieuse pour résoudre cet exercice :

1°) Montrer que , il existe un polynôme unique dans tel que .

J'arrive à faire cette question en raisonnant par l'absurde, mais avec trop de calculs bourrins et de changement par ci, par là... bref, j'ai l'impression de bidouiller.
Voici le plan de ma démonstration :
- On suppose qu'il existe vérifiant les mêmes condition que ;
- A partir de l'égalité , j'en déduis, par identification que et pour tout de .
- Je pose et je montre par récurrence que quel que soit .
- Par conséquent, j'en déduis que quel que soit donc est unique.

Selon moi, il est évident que est un polynôme de degré , mais je ne sais pas s'il faut le prouver.

2°) Calculer .
Après une petite conjecture, je trouve .

Voilà, merci d'avance :+++:

[ev85]

Bonsoir, j'aurai besoin d'une aide astucieuse pour résoudre cet exercice :

1°) Montrer que , il existe un polynôme unique dans tel que .

J'arrive à faire cette question en raisonnant par l'absurde, mais avec trop de calculs bourrins et de changement par ci, par là... bref, j'ai l'impression de bidouiller.
Voici le plan de ma démonstration :
- On suppose qu'il existe vérifiant les mêmes condition que ;
- A partir de l'égalité , j'en déduis, par identification que et pour tout de .
- Je pose et je montre par récurrence que quel que soit .
- Par conséquent, j'en déduis que quel que soit donc est unique.

Selon moi, il est évident que est un polynôme de degré , mais je ne sais pas s'il faut le prouver.

2°) Calculer .
Après une petite conjecture, je trouve .

Voilà, merci d'avance :+++:

Pour le 1) est un isomorphisme de .

[Dinozzo13]

Salut ev85 !

Je suis d'accord, mais en quoi cela peut-il servir ? Parce que là, je ne te suis pas.

Je te remercie de plus, pour ta participer activeme à mes discussions :++:

[Dinozzo13]

Pour le 1) est un isomorphisme de .

Je rajouterai même que si ça va de R[X] dans R[X], c'est un automorphisme (morphisme bijectif de R[X] dans lui-même).

[benekire2]

Salut !

Pour la première question tu peut considérer l'application de dans qui à fait correspondre

Alors où D est l'opérateur de dérivation, qui est nilpotent, et permet donc de dire que est inversible d'inverse donc bijective, donc il existe un unique polynôme vérifiant ce que tu veut (En fait j'ai raconté l'histoire à l'envers, c'est àa qui motive l'introduction de ).

Et comme on connait l'inverse on peut même donner explicitement l'inverse.

EDIT. ev a été plus rapide !

EDIT2. Tu es toujours en prépa Dinno, que fais tu ? Ca fait un moment !

[ev85]

Salut ev85 !

Je suis d'accord, mais en quoi cela peut-il servir ? Parce que là, je ne te suis pas.

Je te remercie de plus, pour ta participer activeme à mes discussions :++:

Pour des raisons de dimensions, il te suffit de démontrer que cet endomorphisme est injectif. Et là tu as une équation différentielle simple à résoudre.

Pour le 2, tu dérives à mort :

Tu additionnes et c'est le bonheur.

[benekire2]

Pour des raisons de dimensions, il te suffit de démontrer que cet endomorphisme est injectif. Et là tu as une équation différentielle simple à résoudre.

Pourquoi ne pas tout simplement profiter de la nilpotence de la dérivation en dimension finie et régler les deux questions d'un seul coup ? :lol3:

[Skullkid]

Salut, je n'ai pas cherché à vérifier ta démo pour le 1, donc je vais supposer qu'elle est exacte. Cependant, en procédant ainsi, tu n'as pas montré "il existe un unique Pn tel que...", tu as montré "s'il existe un Pn tel que... alors il est unique", donc il te reste à montrer qu'un tel Pn existe bel et bien. La méthode proposée par ev85 est sans doute celle attendue par l'exercice. Si on ne s'occupe pas de la façon dont l'exercice est construit, on peut faire une analyse-synthèse qui répond au deux questions en même temps.

Sinon, ta conjecture est erronée pour le 2.

[Dinozzo13]

Salut ev85 !

Je suis d'accord, mais en quoi cela peut-il servir ? Parce que là, je ne te suis pas.

Je te remercie de plus, pour ta participer activeme à mes discussions :++:

Pour le 1) est un isomorphisme de .

Je rajouterai même que si ça va de R[X] dans R[X], c'est un automorphisme (morphisme bijectif de R[X] dans lui-même).

Salut !

Pour la première question tu peut considérer l'application de dans qui à fait correspondre

Alors où D est l'opérateur de dérivation, qui est nilpotent, et permet donc de dire que est inversible d'inverse donc bijective, donc il existe un unique polynôme vérifiant ce que tu veut (En fait j'ai raconté l'histoire à l'envers, c'est àa qui motive l'introduction de ).

Et comme on connait l'inverse on peut même donner explicitement l'inverse.

EDIT. ev a été plus rapide !

EDIT2. Tu es toujours en prépa Dinno, que fais tu ? Ca fait un moment !

Salut Benekire !
Ca faisait un bail ^^

Pourrais-tu développer ce que tu as voulu dire, parce que je ne vous suis pas bien.

[Dinozzo13]

Ok, je n'ai pas eu le temps de vérifier. En me basant sur ce qui a été dit précemment, on devrait avoir : .

Oui, si on montre que u:P -> P-P' est injectif alors son noyau vaut 0 et son image u(R[X])=Im(R[X]) donc, u est surjectif.

u est donc bijectif. Mais en quoi le fait de montrer que u est bijectif sert pour l'unicité, ça je ne comprends pas.

(en fait je réalise que j'ai été incroyablement bourrin sur cet exo).

[benekire2]

Dans la bijectivité on retrouve :

- La surjectivité , donc l'existence de Pn tel que BLABLA

- L'injectivité, ie l'unicité d'un tel polynôme.

Mais perso plutôt que de montrer que c'est injectif, il est préférable d'exhiber l'inverse.

[ev85]

Mais perso plutôt que de montrer que c'est injectif, il est préférable d'exhiber l'inverse.

Oui c'est indéniable. Après tout il t'a été demandé une aide astucieuse . Pour ma part je n'ai pas cherché à faire trop subtil...

[Dinozzo13]

Dans la bijectivité on retrouve :

- La surjectivité , donc l'existence de Pn tel que BLABLA

- L'injectivité, ie l'unicité d'un tel polynôme.

Mais perso plutôt que de montrer que c'est injectif, il est préférable d'exhiber l'inverse.

Ah ben oui, si u est bijectif alors u est unique.
Qu'entends-tu par exhiber l'inverse ? La réciproque ?

[Dinozzo13]

Dans la bijectivité on retrouve :

- La surjectivité , donc l'existence de Pn tel que BLABLA

- L'injectivité, ie l'unicité d'un tel polynôme.

Mais perso plutôt que de montrer que c'est injectif, il est préférable d'exhiber l'inverse.

Ah ben oui, si u est bijectif alors u est unique.
Qu'entends-tu par exhiber l'inverse ? La réciproque ?

[benekire2]

Ah ben oui, si u est bijectif alors u est unique.
Qu'entends-tu par exhiber l'inverse ? La réciproque ?

Oui c'est ça , comme je l'ai dit dans mon premier post, avec D nilpotent, donc on sait calculer son inverse très facilement :

Ca se sent avec le DL 1/(1-x)=1+x+x^2+...

L'inverse de est id + D+D^2+D^3 +... tu peut le vérifier en faisant le produit.

Cela justifie donc que Theta est bijective et donne l'expression même d'un polynôme vérifiant P-P'=X^n

Si tu as besoin de plus de détails je peut toujours détailler plus.

Bonne soirée !

[Dinozzo13]

Me revoilà parce que j'ai une petite question :

Je cherche à déterminer les polynômes P de R[X], au plus de degré 2, tels que :


J'ai d'ores et déjà pu remarquer que si :
- a est racine de P alors P(a)=0 donc -P(a²)=0, P(a²)=0 et par conséquent, a² est aussi racine de P.
- b=a-1 est racine de P alors P(b)=P(a-1)=0 donc -P(b²)=0, P(b²)=0 et par conséquent, b²=(a-1)² est aussi racine de P.

Mais comment en déduire P ?

[ev85]

Me revoilà parce que j'ai une petite question :

Je cherche à déterminer les polynômes P de R[X], au plus de degré 2, tels que :


J'ai d'ores et déjà pu remarquer que si :
- a est racine de P alors P(a)=0 donc -P(a²)=0, P(a²)=0 et par conséquent, a² est aussi racine de P.
- b=a-1 est racine de P alors P(b)=P(a-1)=0 donc -P(b²)=0, P(b²)=0 et par conséquent, b²=(a-1)² est aussi racine de P.

Mais comment en déduire P ?

Quand tu as écarté le polynôme nul, il ne te reste que des polynômes qui ont moins de trois racines, sais-tu ?

[ev85]

Me revoilà parce que j'ai une petite question :

Je cherche à déterminer les polynômes P de R[X], au plus de degré 2, tels que :


J'ai d'ores et déjà pu remarquer que si :
- a est racine de P alors P(a)=0 donc -P(a²)=0, P(a²)=0 et par conséquent, a² est aussi racine de P.
- b=a-1 est racine de P alors P(b)=P(a-1)=0 donc -P(b²)=0, P(b²)=0 et par conséquent, b²=(a-1)² est aussi racine de P.

Mais comment en déduire P ?

Mouais, regarde le coefficient dominant d'abord.

[Skullkid]

Salut, as-tu essayé d'identifier les coefficients, avant de fouiller dans les racines ?

Sinon, ton raisonnement part bien. La façon dont tu l'as écrit me fait cependant douter : tu dis à la suite "si a est racine alors blabla" puis "si b = a-1 est racine alors blabla" donc je sais pas trop quel statut tu donnes à ce "a" dans ta deuxième proposition, est-ce le même a que dans la première proposition ? Auquel cas tu supposes que a et a-1 sont racines de P ? Tu peux remarquer que si P est solution alors P(X)P(X-1) = - P((X-1)²), ce sera peut-être plus clair pour toi.

Sinon, un raisonnement que je trouve élégant est de regarder les monômes dominants.

[Dinozzo13]

u:P -> P-P' est injectif alors son noyau vaut 0

Au fait, j'aurai pas dit une bêtise ?

car pour .
Cependant, il me semble que n'est pas un polynôme, pourtant :

Mouais, regarde le coefficient dominant d'abord.

Pour chaque cas ? c-à-d deg P = 2, 1 et 0 ?