Equation polynômiale sympa

[Dinozzo13]

Mouais, regarde le coefficient dominant d'abord.

Pour chaque cas ? c-à-d deg P = 2, 1 et 0 ?

[Skullkid]

L'exponentielle n'est pas un polynôme (un polynôme a un nombre fini de coefficients, ce qui n'est pas forcément le cas pour une série entière), le noyau de ton endomorphisme est bien réduit à 0. Au passage, il est impossible, dans le cas présent, qu'un noyau ne contienne que deux éléments (les noyaux sont des espaces vectoriels).

Tu n'as pas besoin de donner une valeur numérique au degré, regarde juste les coefficients/monômes dominants. Si ça te simplifie la tâche tu peux appeler d le degré de P (en supposant qu'il est non nul).

[Dinozzo13]

Mouais, regarde le coefficient dominant d'abord.

Oui, mais si le degré est au plus 2, alors le monôme dominant peut-être aX², bX ou c donc :

P(X+1)P(X) = -P(X²)
a(X+1)² aX² = -a(X²)²


\Delta <0 donc P n'est pas de degré 2.

Dois-je faire de même pour deg P = 1 et 0 ?

[Dinozzo13]

L'exponentielle n'est pas un polynôme (un polynôme a un nombre fini de coefficients, ce qui n'est pas forcément le cas pour une série entière), le noyau de ton endomorphisme est bien réduit à 0. Au passage, il est impossible, dans le cas présent, qu'un noyau ne contienne que deux éléments (les noyaux sont des espaces vectoriels).

Tu n'as pas besoin de donner une valeur numérique au degré, regarde juste les coefficients/monômes dominants. Si ça te simplifie la tâche tu peux appeler d le degré de P (en supposant qu'il est non nul).

Oui, ok pour l'exp :++:

[Skullkid]

Si P est non nul et que tu appelles a son coefficient dominant (ou son monôme dominant si tu préfères).

Quel est le coefficient dominant de P(X²) ?
Quel est le coefficient dominant de P(X)P(X+1) ?
Verdict ?

[Dinozzo13]

Mouais, regarde le coefficient dominant d'abord.

Oui, mais si le degré est au plus 2, alors le monôme dominant peut-être aX², bX ou c donc :

P(X+1)P(X) = -P(X²)
a(X+1)² aX² = -a(X²)²


\Delta <0 donc P n'est pas de degré 2.

Dois-je faire de même pour deg P = 1 et 0 ?

[Dinozzo13]

Ils ont le même monôme dom. : .

[Skullkid]

Non, vérifie tes calculs.

[Dinozzo13]

oups, oui, je sais pas d'où est sorti le "2" :

[Dinozzo13]

Si P est non nul et que tu appelles a son coefficient dominant (ou son monôme dominant si tu préfères).

Quel est le coefficient dominant de P(X²) ?
Quel est le coefficient dominant de P(X)P(X+1) ?
Verdict ?

Par contre, je ne vois pas pour le verdict.

[Skullkid]

Non, le monôme dominant de P(X)P(X+1) c'est bien mais celui de P(X²) c'est . Qu'en déduis-tu sur a ?

Ensuite tu peux soit continuer en faisant une identification des coefficients en distinguant degré 0, 1 et 2, mais ce serait dommage (à ce moment-là autant faire l'identification dès le début et c'est pas vraiment la peine de raisonner sur les monômes dominants), ou alors tu gardes l'info en mémoire et tu reviens sur ta réflexion sur les racines :

Si P admet une racine r, r² et (r-1)² sont aussi racines de P. Qu'est-ce que ça implique sur les valeurs possibles de r ?

[Dinozzo13]

Non, le monôme dominant de P(X)P(X+1) c'est bien mais celui de P(X²) c'est . Qu'en déduis-tu sur a ?

Ensuite tu peux soit continuer en faisant une identification des coefficients en distinguant degré 0, 1 et 2, mais ce serait dommage (à ce moment-là autant faire l'identification dès le début et c'est pas vraiment la peine de raisonner sur les monômes dominants), ou alors tu gardes l'info en mémoire et tu reviens sur ta réflexion sur les racines :

Si P admet une racine r, r² et (r-1)² sont aussi racines de P. Qu'est-ce que ça implique sur les valeurs possibles de r ?

Oh oui, zut alors. donc a=1 ou 0

Quand tu dis faire l'identification dès le début, on pose P=aX²+bX+c ou a peut être nul donc ?

[Skullkid]

Non, tu arrives à a² = -a (c'est -P(X²) dans le membre de droite) donc a = 0 ou -1. Comme ce a c'est le coefficient dominant, il est par définition non nul (le polynôme nul est évidemment solution de l'équation donc on peut l'exclure de la résolution) donc a = -1.

Oui, pour l'identification tu poses P = aX² + bX + c sans restriction sur a, b et c (ou alors, maintenant que tu sais que le coefficient dominant est -1, tu peux tester chacun des degrés séparément). À mon sens c'est la toute première méthode qui doit venir à l'esprit, elle n'est pas forcément très palpitante mais elle ne présente aucune difficulté autre que calculatoire et on sait qu'elle a de très bonnes chances de réussite parce qu'on se limite au degré au plus 2. Cela étant dit, les autres méthodes sont intéressantes à discuter.

En gardant dans un coin l'info sur le coefficient dominant, reviens sur les racines. Par exemple, toujours en supposant que P est non nul, est-ce que 2 peut-être racine ?

[Dinozzo13]

Je cherche à déterminer les polynômes P de R[X], au plus de degré 2, tels que :

Bonjour, je me demandais, comment résoudrait-on cette équation dans et non plus dans ?

[ev85]

Bonjour, je me demandais, comment résoudrait-on cette équation dans et non plus dans ?

De la même façon, en démontrant que les racines éventuelles sont 0 et 1.

[Dinozzo13]

Qu'entends-tu par récines éventuelles ?

Dejà, j'ai établis que si r est racine de P alors r² et (r-1)² le sont aussi.
Par conséquent, si r² est racine de P alors et (r²-1)² le sont aussi tout comme et ((r-1)²-1)² non ? Et ainsi de suite ...

[ev85]

Qu'entends-tu par récines éventuelles ?

Dejà, j'ai établis que si r est racine de P alors r² et (r-1)² le sont aussi.
Par conséquent, si r² est racine de P alors et (r²-1)² le sont aussi tout comme et ((r-1)²-1)² non ? Et ainsi de suite ...

Mais, sauf pour le polynôme nul, tu ne peux avoir qu'un nombre fini de racines, donc...

[Dinozzo13]

Oui, pour le polynôme nul, on a toujours P(X)=0, je comprends.

Sinon j'aurai deux questions :
Est-il possible de déterminer l'expression d'un polynôme P telle que sa fonction associée u(P) soit identiquement nulle sur Z/2012Z ?

Enfin j'aimerai factoriser dans C mais j'ai de la peine à le faire.

J'ai voulu factoriser , mais au final j'obtiens quelque chose de la forme .

J'ai essayé de faire apparaître mais sans succès...

Edit : En fait, je viens de trouver une racine : x=-1/2 pour P(x).
Je poursuis la factorisation...

[Dinozzo13]

Il se trouve que par un heureux hasard j'ai trouvé la factorisation de P(x).

Reste plus qu'à essayer l'histoire de u(P) dans Z/2012Z

[ev85]

Il se trouve que par un heureux hasard j'ai trouvé la factorisation de P(x).

Reste plus qu'à essayer l'histoire de u(P) dans Z/2012Z

Tu peux essayer de finir. Je commence :