Points sur un cercle.

[Le_chat]

Yo!

On prend A1...An n points sur le cercle unité ( de centre 0, de rayon 1)

Montrer que l'on peut trouver un point M sur ce cercle, tel que

MA1*MA2*...*MAn=1 (MA1 pris comme la distance de M à A1).

Bonne réflexion.

[Lucas1995]

Je verrai une démonstration par récurrence mais je vois pas même après réelle réflexion

[Le_chat]

Je ne vois pas trop comment utiliser de la récurrence en effet.

Une solution consiste à passer par de l'analyse.

[Lucas1995]

Oui ça ne m'étonnerait pas que la récurrence ne fonctionne pas mais qu'entends-tu par analyse (peut-être n'ai-je pas un niveau d'étude assez élevé) ?

[Le_chat]

Ben une méthode assez courte consiste à passer par les séries de fourier, tu connais?

[Lucas1995]

Non mais en regardant rapidement sur wiki je vois le rapport mais ne saurais pas l'utiliser :ptdr:

[ffpower]

Notant z1,..,zn les complexes associés à A1,..,An, et posant P(z)=produit des (z-ak), le but est de montrer qu'il existe z de module 1 tel que |P(z)|=1. Or |P| s'annule aux ak donc par le théo des valeurs intermédiaires il suffit de montrer qu'il existe z de module 1 tel que |P(z)|>1. Plusieurs moyens de procéder pour montrer ça: l'analyse complexe permet par exemple de torcher par le principe du maximum en remarquant que |P(0)|=1.
(En fait ya meme moyen de manière plus efficace et plus élémentaire de montrer qu'il existe z de module 1 tel que |P(z)|>2)

[Le_chat]

On peut aussi utiliser l'égalité de parseval, qui permet de résoudre le problème à bac+2 :ptdr:

[fatal_error]

(juste pour dire que j'y réfléchis pour Le_chat, j'avais la partie easy pour le bound inférieur, plus la continuité, je réfléchis toujours à la partie supérieure...mais bon, les maths et moi, chui déjà sur la pente descendante :cry: )

[Imod]

J'ai bien tous les éléments de la réponse de ffpower sauf |P(z)|>2 , c'est vraiment évident ?

Imod

[ffpower]

Elémentaire ne veut pas forcément dire évident (tu en sais quelque chose^^)
Tu développes ton polynome:

où on sait que |a0|=1. Quitte à remplacer P(z) par P(cz)/c^n où c est un complexe de module 1 bien choisi, on peut supposer a0=1. Et maintenant l'astuce: on regarde la moyenne de P sur les racines n-iemes de l'unité. Si on les note u1,..,un, en utilisant les formules classiques
si m divise n,0 sinon,
on en déduit

et donc qu'il existe k tel que

[lapras]

Astuce ! j'avais essayé de faire une moyenne aussi mais avec des intégrales et évidemment ca ne marchait pas : il fallait discrètiser la moyenne....

[ffpower]

Oui, l'intégrale est le plus naturel, mais c'est pas suffisamment efficace, ça donne juste la minoration par 1..A noter que la méthode de Le_chat, à savoir Parceval, donne déjà une minoration un peu mieux (racine(2))..Ce fut aussi ma première amélioration, et j'ai galéré un moment avant de trouver cette mino optimale (atteinte par z^n+1 par ex), par une méthode initialement très tordue (oui j'avoue, je n'ai pas torché ce truc en un jour, j'avais réfléchi sur ce problème ya quelques temps déjà)

Généralisant cette méthode, ça donne que si , alors la norme infinie de P sur le cercle se minore par (avec cas d'égalité pour )

Autre fait intéressant, ça permet de retrouver un résultat classique: Si P est un poly réel unitaire, la norme infinie de P sur [-1,1] est supérieure à , avec cas d'égalité pour les polynomes de Tchebytchev (normalisés): Il suffit de remarquer que
, et qu'on en revient ainsi à minorer la norme infinie sur le cercle du polynome

[Le_chat]

Sisi ça marche avec les integrales: L'égalité de parseval donne directement

||=||dt

Donc ||dt;), et ça marche.

[Imod]

bien vu ffpower :++:

Je suis presque sûr de m'être posé la même question il y a quelques années mais ma mémoire flanche .

Imod