Déterminer l'ensemble des entiers N (arithmétique)

[kabrice]

Bonsoir, svp j'ai besoin de vous sur cette exo:

Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que n, n+2, n+6, n+8, n+12 et n+14 soient premiers.
Merci

[Dinozzo13]

Bonsoir, svp j'ai besoin de vous sur cette exo:

Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que n, n+2, n+6, n+8, n+12 et n+14 soient premiers.
Merci

Salut ! Etudie les différents restes possibles de par .
Cela te permettra de montrer que cela marche uniquement si .

[kabrice]

Pourquoi 5 et pas un autre nombre ?
merci (sinon je vais qu'en mm essayer)

Salut ! Etudie les différents restes possibles de par .
Cela te permettra de montrer que cela marche uniquement si .

[Fanyflore11]

Je n'arrive pas à faire

[GaBuZoMeu]

Si n est un entier non divisible par 5, un des nombres n+2, n+6, n+8, n+14 est divisible par 5.

[Fanyflore11]

On demande de trouver n tels que n, n+2,n+6,n+8,n+12,n+14 soient premiers
Tu comptes faire comment !?

[Fanyflore11]

Pourquoi 5 et pas un autre nombre ?
merci (sinon je vais qu'en mm essayer)

Salut ! Etudie les différents restes possibles de par .
Cela te permettra de montrer que cela marche uniquement si .

Moi de même je ne comprends pas
Bonjour

[Fanyflore11]

Si n est un entier non divisible par 5, un des nombres n+2, n+6, n+8, n+14 est divisible par 5.

S'il te plaît si faille donner une rédaction correcte à ton raisonnement, que vas tu écrire ?
J'ai besoin de précision
Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

S'il te plaît si faille donner une rédaction correcte

Déjà, je ferais attention à mon français.
Je regarderais si ça marche pour n=2, pour n=3, pour n=5 puis pour n premier strictement plus grand que 5 j'utiliserais le résultat indiqué plus haut.
Je ne veux pas donner un "modèle", je te laisse écrire, ça me semble plus formateur. Essaie, et on te dira si ça marche ou s'il faut améliorer.

[Black Jack]

Salut,

Si le chiffre des unités de n est pair, alors n est pair, n+2 est pair, n+8 est pair ... et donc l'ensemble proposé n'est pas constitué de nombre premiers.

Reste donc à étudier les cas ou le chiffre des unités de n est impair, soit donc 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.

a) Pour le chiffre des unités de n = 1
on a :
n = 10.N + 1 (avec N un entier naturel)
n+14 = 10N + 15 ---> multiple de 5 (et de 1 et de lui même) ---> pas premier.

b) Pour le chiffre des unités de n = 3
on a :
n = 10.N + 3
n+2 = 10.N + 5 --> ---> multiple de 5 (et de 1 et de lui même) ---> pas premier.

On continue pour le chiffre des unités de n = 7 et puis 9 et on montre facilement qu'un des nombres de la série est multiple de 5 (et de 1 et de lui même) (Fais-le)


Reste à étudier le cas le chiffre des unités de n est 5

Facile à montrer que si n > 5 (donc 15 , 25 ...), alors n n'est pas premier.

Reste à étudier le cas n = 5
...



Edit : pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

[Fanyflore11]

S'il te plaît si faille donner une rédaction correcte

Déjà, je ferais attention à mon français.
Je regarderais si ça marche pour n=2, pour n=3, pour n=5 puis pour n premier strictement plus grand que 5 j'utiliserais le résultat indiqué plus haut.
Je ne veux pas donner un "modèle", je te laisse écrire, ça me semble plus formateur. Essaie, et on te dira si ça marche ou s'il faut améliorer.

Merci pour la rectification
Bien voilà ce que j'ai pu rédiger grâce à tes dits

# pour n=2
n+2=2+2=4 qui n'est pas premier
Il sera de même pour les autres car 2 étant un nombre pair, en l' additionnant avec un autre nombre pair, on obtient un multiple de 2

#pour n=3
n+2=3+2=5 qui est premier
n+6=3+6=9 qui est premier
n+8=3+8=11 qui est premier
n+12=3+12=15 qui n'est pas premier
n+14=3+14=17 qui est premier
Comme pour n=3,tous les nombres proposés ne sont pas premiers, on ne prendra pas 3 comme faisant partir de l'ensemble

#pour n=5
n+2=5+2=7 qui est premier
n+6=5+6=11 qui est premier
n+8=5+8=13 qui est premier
n+12=5+12=17 qui est premier
n+14=5+14=19 qui est premier
Pour n=5 tous les nombres sont premiers
Donc l'ensemble des entiers naturels n cherchés sont tels que n congru à 0[5]
Voilà ce que j'ai pu rédiger
Merci de me corriger

[lyceen95]

C'est très incomplet.
Tu regardes n=2, n=3 et n=5. Pourquoi tu ne regardes pas n=4, ou n= 1234567 ? Tu n'expliques pas ton plan, et pourquoi tu regardes certains entiers et pas d'autres.

En plus tu conclues un truc un peu ambigü, tu dis plus ou moins que l'ensemble des solution est l'ensemble des nombres qui se finissent par un 5 ( c.a.d. 5 15 25 35 etc etc).
Non, dans cette série de nombre, tous ne conviennent pas, loin de là !

Dans cet exercice, on parle de n. n représente un nombre entier, donc un nombre avec généralement plusieurs chiffres . 123, il convient ou pas ? 10000005, il convient ou pas ?
Et bien sûr, on ne va pas se poser la question pour tous les nombres, il y en a une infinité.
Les conseils qui t'ont été donnés, c'est de regrouper les nombres en différents groupes.
1er groupe , les nombres pairs.
2me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 1
3me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 3
4me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 5
5me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 7
6me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 9

On va donc donner un nom au dernier chiffre, pour pouvoir faire des phrases courtes.
Pour moi, la réponse commencerait comme ça :

Soit n un nombre entier.
Si n est pair ... ....
Si n est impair, notons k le dernier chiffre de ce nombre. k vaut nécessairement 1,3,5,7 ou 9

[Fanyflore11]

C'est très incomplet.
Tu regardes n=2, n=3 et n=5. Pourquoi tu ne regardes pas n=4, ou n= 1234567 ? Tu n'expliques pas ton plan, et pourquoi tu regardes certains entiers et pas d'autres.

En plus tu conclues un truc un peu ambigü, tu dis plus ou moins que l'ensemble des solution est l'ensemble des nombres qui se finissent par un 5 ( c.a.d. 5 15 25 35 etc etc).
Non, dans cette série de nombre, tous ne conviennent pas, loin de là !

Dans cet exercice, on parle de n. n représente un nombre entier, donc un nombre avec généralement plusieurs chiffres . 123, il convient ou pas ? 10000005, il convient ou pas ?
Et bien sûr, on ne va pas se poser la question pour tous les nombres, il y en a une infinité.
Les conseils qui t'ont été donnés, c'est de regrouper les nombres en différents groupes.
1er groupe , les nombres pairs.
2me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 1
3me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 3
4me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 5
5me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 7
6me groupe, les nombres pairs qui se finissent par le chiffre 9

On va donc donner un nom au dernier chiffre, pour pouvoir faire des phrases courtes.
Pour moi, la réponse commencerait comme ça :

Soit n un nombre entier.
Si n est pair ... ....
Si n est impair, notons k le dernier chiffre de ce nombre. k vaut nécessairement 1,3,5,7 ou 9

Je peux pas prendre n=4 car n doit être un nombre premier

[Fanyflore11]

Salut,

Si le chiffre des unités de n est pair, alors n est pair, n+2 est pair, n+8 est pair ... et donc l'ensemble proposé n'est pas constitué de nombre premiers.

Reste donc à étudier les cas ou le chiffre des unités de n est impair, soit donc 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.

a) Pour le chiffre des unités de n = 1
on a :
n = 10.N + 1 (avec N un entier naturel)
n+14 = 10N + 15 ---> multiple de 5 (et de 1 et de lui même) ---> pas premier.

b) Pour le chiffre des unités de n = 3
on a :
n = 10.N + 3
n+2 = 10.N + 5 --> ---> multiple de 5 (et de 1 et de lui même) ---> pas premier.

On continue pour le chiffre des unités de n = 7 et puis 9 et on montre facilement qu'un des nombres de la série est multiple de 5 (et de 1 et de lui même) (Fais-le)


Reste à étudier le cas le chiffre des unités de n est 5

Facile à montrer que si n > 5 (donc 15 , 25 ...), alors n n'est pas premier.

Reste à étudier le cas n = 5
...



Edit : pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

Merci je viens de lire ta réponse

[lyceen95]

Je peux pas prendre n=4 car n doit être un nombre premier

Oui, mais il faut le dire dans ta réponse.