Théorème de Césaro

[mj4]

Bonjour, je suis bloquée dans un exercice, pourriez vous m'aider, voici l'énoncé :

on suppose le téhorème de Césaro connu.
1) en déduire que si (An) est une suite réelle telle que (A(n+) - A(n)) tend vers m lorsque n tend vers + l'infini alors la suite ((A(n)) / n) tend vers m lorsque n tend vers + l'infini.
2) Soit (Y(n)) une suite croissante divergente. Soit (X(n)) une suite telle que
( (X(n)-X(n-1))/ (Y(n) - Y(n-1)) tende vers l quand n tend vers l'infini; montrer que la suite
X(n)/ Y(n) tend vers l quand n tend ver l'infini
3) Soit (A(n)) et (B(n)) deux suites dans R+. On suppose b0>0. Soit A(n) = a0+a1+...+an
B(n)=b0+b1+...bn
On suppose (B(n)) tend vers + infini quand n tend evrs l'infini et que A(n)= B(n) * (1+e(n)) avec e(n) tendant vers 0 quand n tend vers l'infini
Montrer que (A(n)) (B(n)) sont équivalentes

Merci d'avance

[mj4]

Pour la 1) j'utilise le théorème de Césaro j'obtiens lim ((An+1 - A0)/n)=m
mais je ne vois pas comment arriver à lim( (An+1) / n )=m

et pour la question 2 je vais essayer de refaire la même chose

Merci d'avance

[Maxmau]

Pour la 1) j'utilise le théorème de Césaro j'obtiens lim ((An+1 - A0)/n)=m
mais je ne vois pas comment arriver à lim( (An+1) / n )=m

et pour la question 2 je vais essayer de refaire la même chose

Merci d'avance

Bj

A0/n tend vers zéro

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, pourriez vous me donner une piste pour la suivante?

Merci d'avance

[Maxmau]

Traite d'abord le cas où l =0 (on s'y ramène facilement)
(Xn - Xn-1)/(Yn - Yn-1) = En tend donc vers zéro pour n infini
Soit e >0. il existe un rang k tq n>k implique |En|k tq n>s implique |Yk/Yn|k, Ecris l'égalité (Xi - Xi-1) = Ei (Yi - Yi-1) pour i = n, n-1, ....., k+1
additionne et déduis en que: |Xn -Xk| s, on a: |Xn/Yn|<2e

[mj4]

D'accord, merci beaucoup j'ai compris sauf le passage à la dernière ligne, et après je dois faire le cas ou l=une constante autre que 0 ?

Merci d'avance

[Maxmau]

après je dois faire le cas ou l=une constante autre que 0 ?

Merci d'avance

tu poses Zn = Xn -L*Yn où L est la limite pour te ramener au cas où la limite est zéro


Pour la fin du raisonnement précédent, tu divises par Yn et tu fais des majorations

[Maxmau]

D'accord, merci beaucoup j'ai compris sauf le passage à la dernière ligne,

Merci d'avance

On a |Xn - Xk|0 (puisque la suite (Yn) croit vers +infini) d'où Yn >= Yk>0 pour n>k.
En divisant par Yk l'inégalité ci-dessus on a: |Xn/Yn - Xk/Yn|k (à fortiori pour n>s)
pour n>s on aura donc: |Xn/Yn|0 on peut associer un rang s tq pour n>s ............etc..

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, j'ai compris, je vais essayer de faire la suite

[Maxmau]

dans 3/ il y a quelque chose qui cloche car
l'hypothèse: A(n)= B(n) * (1+e(n)) avec e(n) tendant vers 0 quand n tend vers l'infini
signifie exactement la même chose que
la conclusion: (A(n)) (B(n)) sont équivalentes

[mj4]

Dans la 3, oui je me suis trompée, excusez moi, c'est:

On suppose (B(n)) tend vers + infini quand n tend evrs l'infini et que a(n)= b(n) * (1+e(n)) avec e(n) tendant vers 0 quand n tend vers l'infini
j'avais mis A et B alors que c'est a et b