Exercice sur les Exponentielles

[Kranken]

Bonjour je suis en Terminale S et je suis bloqué sur un Exo sur les exponentielles, ayant pas ma lde travail je viens de m'y plongé et il est a rendre pour demain du coup je viens quérir vos lumières , je suis désolé de l'effort qu'entraine ma requête mais mon niveau de mathématique est vraiment limité


Partie A :
Soit la fonction définie sur R par g(x)= exp(x) +x +1
a) étudier les variations de g sur R ainsi que ses limites en + et - l'infini.
Mhhh quand je dis mauvais en math c'est que même ça je ne sais pas faire.

b) démontrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique Alpha sur R. Donner un encadrement de Alpha d'amplitude 10^-2
c) en déduire le signe de g(x) sur R

Partie B :
Soit la fonction définie sur R par : f(x)= (x*Exp ( x))/(Exp(x)+1) et C sa courbe représentative dans le repère orthogonal (o,i,j) du plan d'unité 1cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur celui des ordonnées.

a) montrer que f'(x)= (Exp(x)*g(x))/((Exp(x)+1)²) en déduire les variations de f sur R
b) montrer que f(alpha)= alpha+1, en déduire un encadrement d'amplitude 10^-2
c) 1/ determiner une équation de la tangente T à C au point abscisse 0
2/ etudier la position relative de C et de T
d) determiner la limite de f en -infini , interpreter géométriquement ce résultat
e) 1/ determiner la limite de f en +infini
2/ montrer que la droite Delta d'équation y=x est asymptote a C
3/ Etudier la position de C par rapport a Delta


Rien qu'en l'écrivant je me suis choppé un mal de crane :/

[romani01]

Salut.
Pour les limites en c'est une application directe du cours.Je ne peux rien dire de plus.
Le reste c'est du classique.Il n'y a pas de difficulté particulière.

[Kranken]

Bonjour, sa a beau être facile pour moi c'est tout de même incompréhensible.... :/

[annick]

Bonjour,
bon pour les limites, tu as dans ton cours lim e^x, lim x en + et - 00
Pour les variations, il faut d'abord calculer les dérivées (pareil, tu as dans ton cours dérivées de x, e^x,constante, dérivée d'une somme égal somme des dérivées...), puis étudier le signe de ces dérivées.
Même si tu as du mal, il faut que tu essayes un peu en t'aidant de ce qui est écrit dans ton cours.

[Kranken]

Dérivé de g(x) donne
g'(x)= Exp ( x) +1 il me semble, donc lim de g'(x) en +infini donne +infini et celle en -l'infini donne 0

Sa je comprends , mais je ne sais pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour trouver Alpha

[annick]

Ta dérivée est juste et il va maintenant falloir trouver son signe suivant les valeurs de x.

En fait c'est tranquille, car quel est le signe de e^x ? Quel est le signe de +1 ? Quel est donc le signe de e^x+1 ?

Par contre, les limites que tu dois calculer sont celles de la fonction et non celles de la dérivée.

g(x)= exp(x) +x +1
Quelle est la limite de e^x en +00, quelle est la limite de x en +00, quelle est la limite de 1 en +00, quelle est alors la limite de g(x) ?

[Kranken]

e^x est positif , +1 est positif, donc e^x+1 est positif


g(x)= exp(x) +x +1
lim e^x en +00= +00, lim x en +00=+00, lim 1 en +00=1, donc g(x)=+00 ?

EDIT: on ne calcule pas les lim pour -00?

[annick]

e^x est positif , +1 est positif, donc e^x+1 est positif . Oui, c'est exact.
Si la dérivée est positive, la fonction est....
(tu peux d'ailleurs vérifier sur ta calculatrice en faisant tracer le graphe de la fonction g(x)= exp(x) +x +1)

g(x)= exp(x) +x +1
lim e^x en +00= +00, lim x en +00=+00, lim 1 en +00=1, donc g(x)=+00
Ça aussi c'est juste (on peut aussi le vérifier sur le graphique de la calculatrice)

Bon et la limite de g(x) en -00 (tu appliques la même méthode qu'en +00)

Dis donc, tu vois que tu n'es pas si nul que ça, il faut juste que tu n'hésites pas à te lancer un peu, même si tu fais quelques erreurs, c'est comme cela que ça s'améliore et après tout, si on savait tout, je ne vois pas pourquoi on passerait autant de temps à l'école :lol3:

[Kranken]

Heureusement que vous êtes la ^^'
J'ai fait le tableau de variation mais maintenant il faut trouver g(x)=0 qui sera noté Alpha mais l'exo demande un encadrement de Alpha a 10^-2 et la pour trouver alpha je suis paumé

[annick]

Qu'as-tu trouvé comme limite en -00 ?

Sinon, ta fonction est uniformément croissante entre -00 et +00, donc il y a une valeur et une seule pour laquelle ta fonction est nulle.(tu peux déjà avoir une petite idée de l'encadrement en regardant ton graphique sur la calculatrice)
Pour l'encadrer, il faut faire ça avec la table de ta calculatrice.

[Kranken]

lim exp(x)= 0 lim x= -00 et lim 1=1 donc lim g(x)= -00

et g(x)=0 quand -1.27< x < -1.28

[Anonyme]

b) démontrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique Alpha sur R. Donner un encadrement de Alpha d'amplitude 10^-2

Tu dois satisfaire 3 conditions pour prouver ça :

*F continue (Si elle est dérivable = Contiue)
*F doit être monotone (Unique = Monotone ; Plusieurs = Pas monotone) --> C'est à dire soit strictement déctoissante/croissante
*Et 0 est compris entre f(x) et f(y)

Pour les 2 premières ça découle de l'étude de ta fonction et pour la dernière t'as juste à tracer le graphe

Pour l'encadrement tu prends ta calculatrice et tu l'encadres en te rapprochant petit à petit de 0

Voilou

[Kranken]

Merci de ses conseils
c) en déduire le signe de g(x) sur R

G(x) est donc croissante sur R

Partie B :
Soit la fonction définie sur R par : f(x)= (x*Exp ( x))/(Exp(x)+1) et C sa courbe représentative dans le repère orthogonal (o,i,j) du plan d'unité 1cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur celui des ordonnées.

a) montrer que f'(x)= (Exp(x)*g(x))/((Exp(x)+1)²) en déduire les variations de f sur R

J'imagine qu'il suffit de trouvé la dérivée, donc xExp(x) (est du cas de (uv)' = u'v+uv' avec U=x U'= 1 V= Exp ( x) et V'= Exp (x) donc ) x Exp(x) +Exp(x) et la dérive de Exp(x) +1 est Exp (x) il me semble, cela donne au final (Exp(x)+xExp(x)) / Exp(x) mais je ne trouve pas pareil que eux avec l'insertion du g('x)

[annick]

Tu as écrit : " en déduire le signe de g(x) sur R G(x) est donc croissante sur R"
Tu confonds croissance et signe.
La croissance indique si ta fonction "monte" ou "descend"
Son signe dit si la courbe est au-dessus de l'axe des x alors la fonction est positive etc...
Donc d'après ton graphique, que peux-tu me dire là-dessus : en dessous de quelle valeur de x la fonction est-elle négative ? Quand est-elle positive ? Quand est-elle nulle ?

[annick]

Pour la partie b, attention car ta fonction est de la forme générale u/v.
Donc sa dérivée est de la forme ......

[Kranken]

La fonction est négative sur ] - infini; -1.28] puis positive sur [-1.27; +infini[
Pour u/v c'est, (u'v-uv')/v² non?

[annick]

Oui, la fonction est croissante, mais comme je te le disais, on te demande son signe (ça va d'ailleurs te servir dans la question suivante)
Regarde ton graphique, comment est-elle avant alpha ? et après alpha ? et en alpha ?

Pour ta dérivée, c 'est la bonne formule.
Comme tu l'avais écrit, la dérivée de ton numérateur est bien x Exp(x) +Exp(x) et la dérivée de ton dénominateur est bien Exp (x)

[Kranken]

J'ai mit les signe il me semble Annick... a moins que je ne me soi trompé

[annick]

oui, oui, tu as mis les signes, c'est parce que nos posts se sont croisés. Pas de soucis

[Kranken]

Vous ne pourriez pas me donner un coup de main pour passer de xExp(x)/(Exp(x)+1) a
(Exp (x) g(x))/(Exp(x)+1)² car je seche la --'