Besoin d'explications ( DL )

[totololo]

Bonjour à toutes & à tous.
Mon problème est le suivant : Je ne comprends pas le développement limité ( en 0 ) de cosinus.
Je m'explique..

Le DL(0) à l'ordre n de cosinus est donné par : cos(x) = ;) [ (-1)^k * x^2k / (2k)! ] + o(x^2n+1) (pour k variant de 0 à n ) .

Mon soucis est précisément là -->> pourquoi o(x^2k+1) ? ( et pas o(x^2k) ) .

Puis, un développement limité de cosinus à l'ordre 1 est-il -> " 1 + 0 " ou " 1 - x²/2 " ? Doit on prendre en compte (pour déterminer l'ordre d'un DL ) des monomes d'exposant impair s'annulant?

[Sylviel]

Pourquoi o(x^{2k+1}) ? Par parité du cosinus... (c'est même un O(x^{2k+2}) )

à l'ordre 1 en 0 cos(x)= 1

[totololo]

Pourquoi o(1/2^{2k+1}) ? Par parité du cosinus... (c'est même un O(1/2^{2k+2}) )

à l'ordre 1 en 0 cos(x)= 1

" o(1/2^{2k+1}) " ??? Kezako ? J'ai marqué ça nulle part :hein:

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité[/url] ->>> Paragraphe " Approximations linéaires : développements limités d'ordre 1 " -> pourquoi disent-il qu'à l'ordre 1 ce DL est égal à 1 - x²/2 + o(x^3) alors?

[Sylviel]

oui dsl, je ne sais pas pourquoi j'ai mis des 1/... je corrige.

Ils craquent dans wikipédia. En revanche c'est bien le DL au premier ordre non nul.

Edit : je ne vois pas où il y a un problème, le paragraphe que tu m'indiques parle d'un DL à l'ordre 2n, donc pour n=1 à l'ordre 2 (et même 3). Pour avoir le DL d'ordre 1 il suffit de n=0...

[totololo]

oui dsl, je ne sais pas pourquoi j'ai mis des 1/... je corrige.

Ils craquent dans wikipédia. En revanche c'est bien le DL au premier ordre non nul.

Ok donc le DL à l'ordre 0 de cos est égal au DL à l'odre 1 ?

Et je ne comprends tjs pas pourquoi ces DL finissent par o(x^{2n+1}) :mur:

[totololo]

Mais donc la formule cos(x) = ;) [ (-1)^k * x^2k / (2k)! ] + o(x^2n+1) (pour k variant de 0 à n ) donne un DL à l'ordre n ? Ou 2n? Ou 2n+1 ?

[Sylviel]

L'ordre c'est le degré du polynome. Donc ici la formule est un DL à l'ordre 2n a priori. Comme cosinus est paire, c'est également le DL à l'ordre 2n+1 (car le coefficient d'ordre 2n+1 est nul)

[totololo]

oui dsl, je ne sais pas pourquoi j'ai mis des 1/... je corrige.

Ils craquent dans wikipédia. En revanche c'est bien le DL au premier ordre non nul.

Edit : je ne vois pas où il y a un problème, le paragraphe que tu m'indiques parle d'un DL à l'ordre 2n, donc pour n=1 à l'ordre 2 (et même 3). Pour avoir le DL d'ordre 1 il suffit de n=0...

Pourquoi dis tu que le paragraphe parle d'un DL à l'ordre 2n :hein: ?
Le titre du paragraphe dit lui même qu'on parle de DL à l'ordre 1 .

[totololo]

L'ordre c'est le degré du polynome. Donc ici la formule est un DL à l'ordre 2n a priori. Comme cosinus est paire, c'est également le DL à l'ordre 2n+1 (car le coefficient d'ordre 2n+1 est nul)

Donc -->> Cos(x) = 1 - x²/2 + o(x^3) est un DL d'ordre 2 ! Mais pourquoi dans ce cas un petit o de x cube et non pas x carré??

[Sylviel]

Pardon je ne regardais pas le bon paragraphe.
Ici ils ont donné le premier DL "intéressant", donc pas constant. Mais ce n'est pas un DL d'ordre 1 pour cos.

[totololo]

Donc -->> Cos(x) = 1 - x²/2 + o(x^3) est un DL d'ordre 2 ! Mais pourquoi dans ce cas un petit o de x cube et non pas x carré??

[Sylviel]

Parce que c'est un DL d'ordre 3 (puisque le coeff d'ordre 3 est nul).

[mina1992]

Bonjour,
je voudrais avoir de laide sur letude complete de la fonction Arctangente jais reussi a trouver le domaine de définition la deriver mais je trouve que c'est incomplete merci ;)

[Sylviel]

Fais un nouveau fil, ne viens pas vampiriser celui là.

[totololo]

Parce que c'est un DL d'ordre 3 (puisque le coeff d'ordre 3 est nul).

Mais on peut aussi le considérer comme un DL d'ordre 2 non ?

Mais comme ça peut etre soit l'un soit l'autre et qu'un o(x^2) est aussi un petit o de x^3 , on met o(x^3) .. est ce bien ca ?



MAIS! Autre grosse question du coup ... Dans la définition , on donne

cos(x) = [ (-1)^k * x^2k / (2k)! ] + o(x^2n+1) , k variant de 0 à n, avec n étant l'ordre du DL .

Cependant, en calculant le DL avec n=2 on obtient 1 - x²/2 + x^4/4! + o(x^5) ce qui est un DL d'ordre 4... WTF ? :mur:

[Sylviel]

Non dans la formule n n'est pas l'ordre du DL.

sinon c'est presque ça : un o(x^3) est un o(x²), pas l'inverse. Disons que c'est plus précis donc tant qu'à faire autant le donner, même si l'ordre 2 est suffisant.