Exercice raisonnement par l'absurde ?

[jojo130194]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'aide pour un exercice dont l'énoncé est très long, mais qui semble assez court à faire...
En fait, je n'arrive même pas à la 1ere question...
Alors j'aimerais un coup de pouce pour faire la 1ere, un point de départ, et j'espère ainsi, pouvoir faire la suite de l'exercice seul, bien que ce soit loin d'être sur :happy2:

"1. a est un entier tel que a² est multiple de 3. Montrer que a est multiple de 3 ( On fera un raisonnement par l'absurde ).

2. La suite de cet exercice consiste à montrer que est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction avec a et b entiers.
On va raisonner par l'absurde : supposons que soit un nombre rationnel, on suppose donc qu'il peut s'écrire sous forme d'une fraction avec a et b entiers; on peut aussi supposer que cette fraction est irréductible ( car toute fraction d'entiers, après des simplifications éventuelles, s'écrit sous forme irréductible ). On va montrer que cela entraîne une contradiction.
En résumé, supposons qu'il existe deux entiers a et b premiers entre eux tels que .
Montrer que, dans ce cas, a² est multiple de 3. Que peut-on en déduire pour a ?
Montrer que b² est un multiple de 3. Que peut-on en déduire pour b ?
En déduire que a et b ne sont pas premiers entre eux et rédiger une conclusion qui prouve que est un nombre irrationnel.

3. Le but de cette question est de montrer que est un nombre irrationnel.
Supposons que puisse s'écrire sous forme d'une fraction avec a et b entiers premiers entre eux.
Recopier et compléter les tableaux suivants :


Et :


D'après ces tabeaux, quels chiffres des unités peuvent avoir a et b pour que = ?
Expliquer la contradiction et conclure."

Voila pour l'énoncé relativement long... :happy2:

Merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de tout lire et de m'aider !

:help:

[Ericovitchi]

a² est multiple de 3 donc a²=3n

si 3 ne divisait pas a, il ne diviserait pas a² non plus et donc il ne diviserait pas 3n. Or il divise 3n donc l'hypothèse est absurde.

[jojo130194]

Merci beaucoup :)
Mais il faut, j'imagine, prouver que si 3 ne divise pas a, alors 3 ne divise pas a²... ?
Sinon, comment être sur que l'hypothèse est absurde ?

[Ericovitchi]

a et a² ont les même facteurs premiers. Si 3 ne divise pas a c'est que 3 n'est pas facteur premier de a et donc pas facteur premier de a².

[jojo130194]

D'accord merci beaucoup ! :we:
Sinon, pour la 2eme question, j'ai aussi quelques petits doutes...
Je trouve que a² = 3b², donc a² est un multiple de 3, donc a un multiple de 3, pour cela, pas de problème.
Cependant, Pour montrer que b² est un multiple de 3, comment faire ?
Je trouve b² = , mais, est-ce que cela prouve réellement que b² est un multiple de 3 ?
A supposer que ma question d'avant soit juste, on a donc b² multiple de 3, donc b multiple de 3
Donc a et b sont tous deux multiples de 3, donc a et b ne sont pas 1er entre eux.
Cependant, je ne vois pas la conclusion qui prouve que est un nombre irrationnel ?

Enfin, pour la 3eme question, mes tableaux sont-ils corrects ?


Et :


Mais après, je ne vois pas quoi répondre à la question : "Quels chiffres des unités peuvent avoir a et b pour que = ?"
Et du coup, quelle contradiction faut-il expliquer ? Et que faut-il conclure ?

Merci beaucoup pour l'aide que vous m'apporter !

[jojo130194]

Désolé pour l'up...

Donc, pour la question 2, je pense avoir trouvé ! :id:

Cependant, pour la question 3, je ne vois vraiment pas... Personne ne peut m'aider svp ?

Merci d'avance, et bonne soirée.

[Sa Majesté]

Si alors a² = 2b² donc les chiffres des unités de a² et de 2b² doivent être identiques

[jojo130194]

Merci beaucoup !
Il y a donc contradiction puisqu'il n'y a aucune valeur pour lesquelles les chiffres des unités de a² = 2b², donc pour conclure, on ne peut pas écrire sous la forme avec a et b premiers entre eux, donc n'est pas rationnel, donc est irrationnel !
Est-ce correct ?

Merci infiniment pour votre aide à tous !

[Sa Majesté]

Non car il y a 0

[jojo130194]

En effet...
Les seules valeurs pour lesquelles les chiffres des unités vérifient a² = 2b² sont donc :
a = 0; b = 0
a = 0; b = 5
Mais alors, comment conclure pour la suite ?
En disant que ainsi, a et b sont divisibles par 5, donc ne sont pas 1ers entre eux ?

[Sa Majesté]

Oui c'est ça

[jojo130194]

Merci beaucoup !! :happy2:

Bonne soirée.