Division euclidienne TS

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 09:25

Bonjour à tous !

Voici deux petit exercices qui me posent problème !!!

Exercice 1 :

Déterminer les entiers naturels pour lesquels la division euclidienne par 6 donne un reste égal au carré du quotient.

Exercice 2 :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est de 234 et le reste 2870.
De combien, au maximum peut-on augmenter à la fois a et b sans changer le quotient ?

Pour l'exercice 1, j'arrive à a=6q²+r avec 0;)r<6
et 0;)q²<6
mais après :doh: ......

Pour l'exercice 2, j'arrive a a+k=(b+k)*234 +r avec 0;)r<(b+k)
mais après :doh: ......

Merci d'avance pour votre aide.

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:21

F-BN a écrit:Déterminer les entiers naturels pour lesquels la division euclidienne par 6 donne un reste égal au carré du quotient.

Donc x=6q+q² plutôt

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:26

F-BN a écrit:
De combien, au maximum peut-on augmenter à la fois a et b sans changer le quotient ?

La question n'est pas très claire, augmenter "à la fois" a et b ne signifie pas forcément de les augmenter de la même valeur. Mais ça semble la bonne interprétation, sinon ça n'a pas beaucoup de sens.

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 10:28

Ah oui !!

Mais après comment déterminer x ??

A-t'on le droit de dire que les entiers naturels pour lesquels la division euclidienne par 6 donne un reste égal au carré du quotient sont la suite tel que Un=6n+n²
????

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:33

Si x=q²+6q alors q²+6q-x=0
résoudre alors cette équation du second degré avec un delta entier.

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:39

Pour le 2), prenons un exemple simple:
a=5b+8.
le minimum pour b est 9, car le reste est inférieur au diviseur.
a mini=5*9+8=53 puis,
a=54=5*10+4
a=55=5*10+0
On ne peut augmenter a et b que 2 fois de suite.

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 10:39

Merci de m'avoir répondu.

Mais je ne sais pas résoudre une équation à deux inconnus !!
Est-ce possible ? Que veut tu dire par "delta entier" ?

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:48

Sais tu résoudre une équation du second degré ?

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:54

nodjim a écrit:Donc x=6q+q² plutôt

Sinon, à la simple lecture de l'équation posée, comme q² doit être < 6, il n'y a pas beaucoup de possibilités...

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 10:54

Je sais résoudre les polynômes du second degrès

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 10:56

r=q² est un entier naturel entre 0 et 5, donc q ne peut valoir que 0, 1 ou 2 (auquel cas q²=0, 1 ou 4.)

Cas q=0 : alors a=r
Cas q=1 : alors a=6r
Cas q=2 : alors a=16r

Or r={0,1,2,3,4,5}

Es tu d'accord ?

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 10:59

F-BN a écrit:Je sais résoudre les polynômes du second degrès

Vu, mais tu n'en as pas besoin, vois mon message précédent.

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 11:03

F-BN a écrit:r=q² est un entier naturel entre 0 et 5, donc q ne peut valoir que 0, 1 ou 2 (auquel cas q²=0, 1 ou 4.)

Cas q=0 : alors a=r
Cas q=1 : alors a=6r
Cas q=2 : alors a=16r

Or r={0,1,2,3,4,5}

Es tu d'accord ?

Oui mais il faut conclure.

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 11:04

Cas q=0 : alors a=r
Cas q=1 : alors a=6r
Cas q=2 : alors a=16r

Or r={0,1,2,3,4,5}

Cas r=1 : alors a ={1,6,16}
Cas r=2 : alors a ={2,12,32}
Cas r=3 : alors a ={3,18,48}
Cas r=4 : alors a ={4,24,64}
Cas r=5 : alors a ={5,30,80}

et a={1,2,3,4,5,6,12,16,18,24,30,32,48,64,80}

Est ce juste ?

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 11:08

Pour le 2), prenons un exemple simple: a=5b+8. le minimum pour b est 9, car le reste est inférieur au diviseur. a mini=5*9+8=53 puis, a=54=5*10+4 a=55=5*10+0 On ne peut augmenter a et b que 2 fois de suite.

Je n'ai pas compris !

La réponse à la 2) est "2 fois" ?

Pourquoi ne prend tu pas q=234 et r=2870 comme dit dans l'énoncé ?

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 11:13

F-BN a écrit:Cas q=0 : alors a=r
Cas q=1 : alors a=6r
Cas q=2 : alors a=16r

Or r={0,1,2,3,4,5}

Cas r=1 : alors a ={1,6,16}
Cas r=2 : alors a ={2,12,32}
Cas r=3 : alors a ={3,18,48}
Cas r=4 : alors a ={4,24,64}
Cas r=5 : alors a ={5,30,80}

et a={1,2,3,4,5,6,12,16,18,24,30,32,48,64,80}

Est ce juste ?

Si je calcule 32=6*5+2
2 n'est pas le carré de 5.
32 n'est donc pas solution.

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 11:19

oui.

Mais qu'est ce qui ne vas pas alors ?

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 11:26

q² est limité à 6, donc comme tu l'as dit, q ne peut prendre que les valeurs 0,1 ou 4. Or on a écrit x=6q+q². il ne reste donc que 3 valeurs pour x.

par **nodjim** » 18 Sep 2010, 11:29

F-BN a écrit:Je n'ai pas compris !

La réponse à la 2) est "2 fois" ?

Pourquoi ne prend tu pas q=234 et r=2870 comme dit dans l'énoncé ?

Je ne cherche pas le problème à ta place, aussi j'ai donné un exemple. A partir cet exemple, tu peux reformuler d'une manière littérale afin de trouver la formule qui conviendra pour n'importe quel nombre.

par **F-BN** » 18 Sep 2010, 12:23

C'est bon j'ai trouvé !! :id:
q={1,2,4}

a = 6 q + q² donc en remplaçant : a = 0 ou 7 ou 16

merci beaucoup

pour la 2) j'ai aussi trouvé:

a = 234 b + 2870 donc 2870 < b
a + k = 234 (b + k) + r et 0 r < b
234 b + 2870 + k = 234 (b + k) + r
2870 + k = 234 k + r
2870 = 233 k + r
r est un entier positif donc il faut que 0 <233 k < 2870
0

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