Bonjour, je rentre à peine à la fac en L1 maths-info et mes notions de première et terminale S sont un peu vagues, j'ai essayer de revoir mes cours précédents mais rien n'y fait je bloque sur un exercice qui devrait normalement être simple pour moi. :triste: Alors s'il vous plaît j'aimerais que quelqu'un m'aide :help:
Voici l'énoncé :
(a) Montrer que pour tous a et b dans R*+, on a :
Racine carré (ab) Plus petit ou égal que (a+b)/2
(b) En déduire que pour tous a et b dans R*+, on a :
(ln(a)+ln(b))/2 Plus petit ou égal que ln((a+b)/2)
J'ai commencé par écrire 0 < a < b mais là j'ai un trou, je n'ai vraiment aucune idée de comment je dois m'y prendre.
Merci d'avance :)
Démonstration
21 messages
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par romi64 » 12 Sep 2010, 14:52
Bonjour, le plus simple est de comparer ces nombres au carré. Etudie le signe de la différence de ces deux nombres mis au carré..
par linda-k » 12 Sep 2010, 14:58
romi64 a écrit:Bonjour, le plus simple est de comparer ces nombres au carré. Etudie le signe de la différence de ces deux nombres mis au carré..
Merci pour ta réponse mais je ne vois pas trop ce que tu veut dire par là, pourrais tu être plus explicite s'il te plaît.
par romi64 » 12 Sep 2010, 15:11
Soient a, b deux réels de 
.
Pour démontrer que
, il me suffit de démontrer que : ^2}{4})
(j'ai mis au carré).
^2}{4} = ab - \frac{a^2 + 2ab + b^2^}{4} = \frac{4ab}{4} - \frac{a^2 + 2ab + b^2^}{4} = \frac{4ab - a^2 - 2ab - b^2^}{4} = \frac{-a^2 + 2ab - b^2^}{4} = \frac{-(a^2 - 2ab + b^2)}{4} = -\frac{(a-b)^2}{4} \leq 0)
d'où l'inégalité
Pour démontrer que
d'où l'inégalité
par linda-k » 12 Sep 2010, 15:17
romi64 a écrit:Soient a, b deux réels de
Pour démontrer que
d'où l'inégalité
Ahhh ouii je vois :we: franchement mercii j'avais pas pensé faire çà. Je sais que je dois te soulé un petit peu lool mais tu vois une fois que je montre comme tu la fais l'inégalité cela veut donc forcément dire que racine de (ab) plus petit ou égal que (a+b)/2 ??
par romi64 » 12 Sep 2010, 15:22
Oui car ce la différence que j'ai faites montre que : ^2^}{4})
. On mettant la racine carrée on conserve l'ordre des inégalités car tu sais que c'est une fonction croissante sur 
d'où :
}{2})
C'est un résultat classique, la moyenne géométrique de deux nombres est plus petite que la moyenne arithmétique de ces mêmes nombres.
C'est un résultat classique, la moyenne géométrique de deux nombres est plus petite que la moyenne arithmétique de ces mêmes nombres.
par linda-k » 12 Sep 2010, 15:25
Franchement mercii beaucoup c'est très gentil de ta part de m'avoir aider =D
par romi64 » 12 Sep 2010, 15:25
En ce qui concerne le petit (b) il faut que tu te serves de l'inégalité démontrée ci dessus
par linda-k » 12 Sep 2010, 19:56
Bonsoir, j'ai fais le petit (b) et j'aimerais être éclairer sur un point et avoir votre point de vue concernant la solution que je propose :
En utilisant l'inégalité démontrée dans le petit (a), je peut alors déduire que pour tous a et b dans R*+, on a :
(ln(a)+ln(b))/2 plus petit ou égal que ln((a+b)/2)
On sait que ab plus petit ou égal que (a+b)² / 4
Je rajoute ln des deux côtés : ln(ab) plus petit ou égal que ln((a+b)²/4)
On sait aussi que ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Alors : ln(a) + ln(b) plus petit ou égal que ln((a+b)²/4)
:hein: Le problème c'est que là je ne sais pas trop comment passé de l'inéquation précédent à l'inéquation ci-dessous :
(ln(a)+ln(b))/2 plus petit ou égal que ln((a+b)/2)
En utilisant l'inégalité démontrée dans le petit (a), je peut alors déduire que pour tous a et b dans R*+, on a :
(ln(a)+ln(b))/2 plus petit ou égal que ln((a+b)/2)
On sait que ab plus petit ou égal que (a+b)² / 4
Je rajoute ln des deux côtés : ln(ab) plus petit ou égal que ln((a+b)²/4)
On sait aussi que ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Alors : ln(a) + ln(b) plus petit ou égal que ln((a+b)²/4)
:hein: Le problème c'est que là je ne sais pas trop comment passé de l'inéquation précédent à l'inéquation ci-dessous :
(ln(a)+ln(b))/2 plus petit ou égal que ln((a+b)/2)
par romi64 » 12 Sep 2010, 20:44
Bonsoir, oui tu as l'idée c'est bien mais tu peux utiliser d'emblée :
Pourquoi ? car tu sais aussi que
La fonction ln est strictement croissante sur
(important à dire car ainsi tu conserves l'ordre de ton inéquation) donc :
 \leq ln(\frac{a+b}{2}))
c'est à dire \leq ln(\frac{a+b}{2}))
(grace à ce que j'ai rappelé plus haut)
Or on sait aussi que = ln(a) + ln(b))
donc
 + ln(b)}{2} \leq ln(\frac{a+b}{2}))
cqfd
Pourquoi ? car tu sais aussi que
La fonction ln est strictement croissante sur
c'est à dire
Or on sait aussi que
cqfd
par linda-k » 12 Sep 2010, 21:36
Ahh daccord je vois, c'est vrai que c'est beaucoup simple de commencé d'emblé comme tu la fais :++: Encore mercii =D
par linda-k » 12 Sep 2010, 22:11
Je dois avouer que c'est un peu embêtant ^^' mais si je peut faire quoi que ce soit pour te rendre l'appareil je suis là (même si je sert un peu à rien :ptdr: )
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