Des racines de polynomes dans un intervalle "trop large"

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Bonsoir !

J'ai besoin d'un petit coup de main concernant une question d'un exo, ça fait des heures que je tourne en rond ...

Enoncé :

On suppose un polynôme scindé à racines simples distinctes .

1) Donner la DES de

Pour ça aucun soucis, par calcul direct on trouve

2) Montrer que P' admet n-1 racines simples et que :


Ca j'ai un peu cherché, mais j'ai trouvé, on identifie P à la fonction polynomiale p, et en se plaçant sur un intervalle , , p continue et dérivable sur , On invoque le théorème de Rolle qui nous confirme l'existence d'au moins une racine de p' sur , par suite il y a n-1 intervalles à considérer et puisque p n'est jamais constant sur l'un d'eux et que p' a obligatoirement n-1 racines (degré n-1), on en déduit l'unicité de la racine de p' dans l'intervalle considéré.


Bon jusqu'ici ça allait. Et là je coince :

3) On pose , montrer que :



indication : on pourra utiliser la question 1




J'ai dû essayer tout ce que je pouvais faire concernant , j'ai rien trouvé (j'ai essayer de le retourner dans tous les sens, de le dériver, de majorer tout ce que je pouvais, résultat = rien). Ensuite j'ai essayé sans utiliser 1), à savoir montrer que éventuellement pour réinvoquer Rolle, j'ai essayé en calculant l'équation de la tangente en et en afin de calculer le point d'intersection des deux, et encadrer mieux le , j'ai essayé en construisant le polynôme du second degré tel que et que pour trouver des relation entre les et les , j'ai tenter la méthode de Newton sur P' pour encadrer les racines plus près, enfin bref plus ça va et plus je m'engage dans des trucs qui n'ont aucunes chances d'aboutir ....

Je n'arrive à voir le raisonnement, le théorème ou la propriété clé pour prouver le résultat ... Je n'arrive pas à voir d'où peut venir le n au dénominateur du delta (comment mêler le degré de P avec les racines ??? ou comment pourrait il venir de la somme de la DES de ??? ) ... Et comment utiliser cette DES ???


Bref après moult idées non-abouties je déclare forfait ...


Quelqu'un peut il me donner un indice supplémentaire ? (pas me donner la réponse directement mais un indice) ...


Merci

[Doraki]

Tu peux remarquer que P'/P est une bijection décroissante entre ]xi ; xi+1[ et R
Il suffit de montrer que P'/P (xi + di/n) > 0

Là faut faire gaffe aux signes et pas se planter de sens quand on doit donner une minoration ou une majoration des xk (autres que xi et x(i+1)).
Quand t'auras donné aux xk les pires valeurs possibles, tu verras bien que c'est quand même positif.

[get-27]

Montrer que , c'est bien ce que j'essaye de faire, mais je n'y arrive pas.

On a absolument aucune information sur les , on sait juste que , mais j'ai beau essayer d'encadrer les , vu que je ne connait pas leur signe je me retrouve sans arrêt bloqué ...


help !

[Doraki]

Je vois absolument pas en quoi le signe des xk a un rapport avec les calculs à faire.

On sait que x1 < x2 < x3 ... < xn, et c'est tout ce qu'il nous faut.

[get-27]

Ca me passe réellement à trois kilomètre au dessus de la tête, mais j'ai beau cherché et gribouiller des tas de feuilles ça ne colle pas. :triste:

Quand je majore ou minore le xk, il faut bien que je connaisse le signe de l'un et l'autre des terme pour passer à l'inverse ... pour essayer de minorer la somme avec un truc positif .... non ?

Pour l'instant j'ai ça, dont je ne suis même pas sûr, et c'est négatif ...

[Doraki]

En posant x = xi + di/n parceque j'ai pas envie de le répéter partout,
Où se trouve x dans x1 < x2 < ... < xn ?

Pour quels k est-ce que 1/(x-xk) est négatif ? pour quels k est-ce que 1/(x-xk) est positif ?

Tu peux m'expliquer pourquoi quand i < k < n, 1/(x - xk) > 1/(x - xn) ?

[get-27]

1/(x-xk) négatif pour k > i et positif pour k inférieur ou égal à i ...

Ce qui nous indique qu'on a une somme de termes positifs et de termes négatifs ...

J'ai déjà penser à essayer de couper la somme en deux, une positive, une négative mais rien ...



Tu peux m'expliquer pourquoi quand i 1/(x - xn) ?

C'est le contraire

xk -xn
x-xk>x-xn

et puisque k > i x-xk <0 et x-xn< 0

donc 1/(x-xk)<1/(x-xn) ...

[Doraki]

J'ai déjà penser à essayer de couper la somme en deux, une positive, une négative mais rien ...

Oui c'est ce qu'il faut faire.
Si on change xi ou x(i+1), ça change notre x, donc c'est pas bien.
En revanche, l'inégalité qu'on doit montrer doit rester vraie quelques soient les valeurs des x1,x2,...,x(i-1),x(i+2),...,xn.

Bon j'imagine que t'as vu que y -> 1/(x-y) est croissante sur les deux intervalles où elle est définie.
Donc les pires valeurs possibles pour x1,x2,...,x(i-1),x(i+2),...,xn, sont les plus petites valeurs autorisées.
(Vu qu'on doit toujours avoir x1 < x2 < ... x(i-1) < xi < x(i+1) < ... < xn.

Donc normalement tu devrais avoir de quoi faire les minorations appropriées.
A la limite, par quoi peut-on remplacer x1, x2, ..., x(i-1), x(i+2), ..., xn?

[P0CM4N]

J'ai aussi cette exercice a faire pour la rentrée.

je comprend bien que P' change de signe au niveau de yi alors que P lui reste du même signe, le fait que P'/P soit de signes différents aux extrémités de l'intervalle dans lequel on doit placer Yi est donc une justification suffisante .

La DES permet d'obtenir la somme de deux sommes, une positive l'autre négative. en minorant l'une et en majorant l'autre il doit donc être possible de déterminer le signe de P'/P pour l'une des extrémités, et ensuite on recommence pour la deuxième.

j'ai bien compris ? :D

[get-27]

Je crois que je le tiens !

Je pose pour pas à avoir à le taper trop souvent.

On a

La première somme est positive, la deuxième est négative.

On remarque que

D'où

D'où

D'où enfin

Et d'où enfin puis idem pour l'autre borne ...