Exo défi : Polynômes à plusieurs indéterminées

[Olympus]

@Doraki : merci j'ai compris, en gros, on montre que tout polynôme symétrique peut s'exprimer en fonction des polynômes symétriques élémentaires .

[manon_n]

Merci beaucoup doraki !

Cependant, je n'y arrive toujours pas pour la question 3. Quelqu'un pourrait-il mettre d'autres "indices" s'il vous plait ?
En ce qui concerne la question 4 je comprends l'énoncé mais je ne vois pas comment il faut faire pour parvenir à la réponse !
Merci de votre aide .

[benekire2]

Un exemple avec deux variables :

P(x,y)=x²+y² alors

Par contre, ça m'a l'air vraiment pas simple a prouver comme truc. :mur:

[Olympus]

Si je comprends bien, pour n=d=2 on a :

.

?

[benekire2]

on en sait rien comme il va être P, mais c'est juste qu'il va pouvoir s'exprimer comme polynôme en fonction de tes

[Doraki]

Tu veux dire "pour tout a et b, aX² + bXY + aY² = a(X+Y)² + (b-2a)XY" ?
Certes c'est vrai, mais reste encore tous les polynômes de degré > 2, ça fait beaucoup de cas particuliers à faire.

Comme le conseille Nightmare,
vous pouvez expliquer pourquoi il suffit de montrer que Q existe pour les polynômes symétriques homogènes ?

[benekire2]

Question, comment peut on supposer que P est homogène ? Évidemment j'ai essayé de dire que s'il ne l'était pas alors il est combinaison linéaire de polynômes homogènes. C'est ça ?

[Olympus]

Tu veux dire "pour tout a et b, aX² + bXY + aY² = a(X+Y)² + (b-2a)XY" ?

Exactement, chez moi c'est a=a_1 et b=a_2 ^^

Comme c'est un polynôme symétrique, les coefficients de X^2 et ses symétriques sont forcément égaux .

EDIT : effectivement je l'ai supposé homogène .

[Doraki]

Question, comment peut on supposer que P est homogène ? Évidemment j'ai essayé de dire que s'il ne l'était pas alors il est combinaison linéaire de polynômes homogènes. C'est ça ?

C'est vrai pour les polynômes, mais est-ce que c'est vrai pour les poynômes symétriques ?
(est-ce que les composantes homogènes d'un polynôme symétrique restent symétriques)

[benekire2]

et bien non ca ne marche pas comme avec les polynômes ... Ca me semblait quand même un peu facile ...

Par contre j'étais entrain de pensé que par exemple : P(x,y)=x²y+y²z+z²x+x+y+z était symétrique non homogène, mais qu'il a deux parties homogènes, qui sont symétriques. C'est dans cette direction qu'il faut aller ?

[Olympus]

Ton P(x;y;z) n'est pas symétrique ...

EDIT : essaie P(y;x;z) .

[Nightmare]

Un polynôme est symétrique si et seulement si tu peux l'écrire avec des uniquement ^^

La notation est à proscrire mais oui.

Je n'ai pas compris la notation utilisée dans le 3), mais par hasard, le petit sigma c'est pas le k-ème polynôme symétrique élémentaire à n indeterminées ?

C'est bien eux.

@Doraki : merci j'ai compris, en gros, on montre que tout polynôme symétrique peut s'exprimer en fonction des polynômes symétriques élémentaires .

s'exprime "en fonction" mais pas seulement, cette "fonction" doit être un polynôme. D'où la tournure de ma question : Montrer que c'est un polynôme en les

[benekire2]

salut nightmare ,
comment peut-on justifier le fait que l'on peut supposer que le polynôme P est homogène ?

Merci !

[benekire2]

Salut !

En fait pour la justification que l'on peu supposer ces polynômes homogènes, ben m'a dit comment faire, et j'ai un peu honte ..

Bon alors, je met le début de la démo, qui malheureusement, est super évident, mais bon, on va dire que on a pas "le droit" de pas savoir faire ça alors c'est partit :

Initialisation. Je part sur une récurrence sur n, alors pour n=1 le théorème est assez évident puisque le seul polynôme symétrique élémentaire est P(x)=x.

Hérédité. On va maintenant supposer le résultat vrai au rang n-1 et qu'au rang n tout polynôme symétrique de degré d-1 est polynôme des polynômes symétriques élémentaires.


Il reste a finir sur d, mais je ne vois pas comment faire ! Merci !

[Anonyme]

Salut !

En fait pour la justification que l'on peu supposer ces polynômes homogènes, ben m'a dit comment faire, et j'ai un peu honte ..

et comment justifier ?

[benekire2]

Dans ton polynôme symétrique tu vas pouvoir séparer tes parties homogènes de même degré . En fait, le parties homogènes de même degré sont forcément symétriques.
En effet, pour retrouver une expression de degré n après une permutation de variable il nous faut partir d'une expression de degré n, c'est évident.


c'est en fait très intuitif au final, mais c'est pas forcément super simple a rédiger ( d'ailleurs ma rédaction est pas top du tout )

[manon_n]

En ce qui me concerne j'abandonne, c'est bien trop difficile pour moi !

[benekire2]

Salut tout le monde !

Nighmare, pourrait-tu nous aider a continuer s'il te plait ? Merci :we:

PS: J'ai un début de preuve que j'ai posté un peu avant.

[Nightmare]

Alors,

vous avez vu qu'on peut réduire au cas où P est homogène d'un certain degré p. Je vous ai proposé de faire une récurrence sur n+p qui simplifie un peu la chose. En fait, après relecture, je vais même vous proposer de faire une récurrence forte, qui simplifie encore plus le problème.

Pour n=1 et p=1, comme tu le dis bene, c'est trivial. On suppose donc le résultat vrai pour tout entier inférieur à n+p-1 et il reste à montrer qu'il est encore vrai pour n+p. Pour montrer cette hérédité, je vous invite à poser (vous remarquerez que Q est symétrique, pourquoi?) et d'examiner les cas et

:happy3:

[benekire2]

Salut nightmare !

Je suis un peu paumé avec toutes ces notations. Arrête moi quand c'est faux,

P est un polynôme symétrique homogène à n indéterminées de degré d, et l'on veut montrer qu'il peut s'exprimer comme polynôme de polynômes symétriques élémentaires.

J'ai fais quelques essais au brouillon qui montre que Q est bien symétrique, mais je n'arrive pas a le prouver. Comment peut on le prouver ? :doh:

Merci :we: