Exo défi : Polynômes à plusieurs indéterminées

[Nightmare]

Salut !

Un exercice pour les lycéens donné en DM aux élèves que je khôlle d'habitude (pas de khôlle cette semaine) :

Notations :

Soit un polynôme à n indéterminées, c'est à dire tel que pour tout , est un polynôme en .

Ainsi, un tel polynôme va s'écrire sous la forme

Un polynôme à n indéterminées est dit :

- symétrique si pour n'importe quel permutation des indices 1,...,n :

- de degré d lorsque

- Homogène si pour tout i,


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QUESTIONS :

1) Donnez, à l'aide des symboles de sommation et produit discret ( et ) l'écriture générale d'un polynôme à n indéterminées.

2) Donnez l'exemple d'un polynôme à 3 indéterminées qui est :

- symétrique non homogène de degré 4
- homogène non symétrique de degré 2
- symétrique et homogène
- ni symétrique ni homogène

3) On pose .

Soit P un polynôme à n indéterminées, symétrique et de degré d. Montrer, par récurrence sur n+d, que P est un polynôme en les (On pourra supposer, en justifiant, que P est homogène)

4) Soit P un polynôme à une indéterminée à coefficients entiers. On note ses racines (). Montrer que est un entier.

Amusez-vous bien.

:happy3:

[windows7]

salut jord,

t'as rien proposer comme defis pour les sup ?

[Nightmare]

Hello !

Eh bien, cet exercice est aussi intéressant pour les sup, tu peux toujours essayer :happy3:

j'en posterai d'autres toute façon, maintenant que je suis officiellement en vacances :lol3:

[manon_n]

salut, pour la 1 :

La forme est

Le reste plus tard. :++:

EDIT: Est-ce que c'est ça ? C'est la première fois que je fais de tels exos, je ne suis qu'en première ...

[benekire2]

c'est ça si je ne m'abuse. On sera donc 2 ou 3 sur cet exo (au moins :we: )

Je fais la 3 tout à l'heure ! :zen:

[Nightmare]

salut, pour la 1 :

La forme est

C'est juste :happy3:

[manon_n]

au moins la 1 de bonne ! Pour la question 2, comment puis je trouver un polynôme symétrique non homogène de degré 4 a trois indéterminées ? Je n'y arrive, pas, help please :help: En vous remerciant !

non symétrique non homogène : P(x,y,z)=x²y²+xz
non symétrique et homogène : P(x,y,z)=x²y²+xy²z

mais pour les deux autres :hein:

[Nightmare]

Je te laisse y réfléchir un peu plus. Ce n'est pas trop difficile, fais des essais, écrit quelques polynômes, et regarde comment faire pour générer ceux que je demande.

[benekire2]

Un des ces polynômes symétriques homogènes ( je laisse chercher le non homogène, ou sinon tu ne regarde pas :we: ) :
P(x;y;z)=x²y²+x²z²+y²z²

Question pour nightmare , ici on est a 3 variables donc peu de mermutations, mais mettons qu'on ait un polynôme a 15 variables (théorique obv.. ) alors comment prouver qu'il est symétrique ? Y a-il des méthodes ?

[Nightmare]

En général, ça "se voit", mais c'est sûr que c'est plus facile de montrer qu'un polynôme à beaucoup d'indéterminée n'est pas symétrique que le contraire.

[Nightmare]

non symétrique non homogène : P(x,y,z)=x²y²+xz

non symétrique et homogène : P(x,y,z)=x²y²+xy²z

Corrects !

[benekire2]

d'accord, merci nightmare. Donc il n'y a pas de méthode "générale" si je comprends bien.

[Dinozzo13]

Salut ! Excuse mes nombreuses abscences pour tes khôlles :++: BAC oblige ^^

(Je n'ai pas regardé les autres post)

1°) Soit et .
Pour tout réel tels que et :



2°)a) Un polynôme à 3 indéterminées est dit symétrique si et seulement si :

Ce même polynôme est de degré 4 si et seulement si :

C'est-à-dire :

Après je ne vois pas trop ce qu'il me faut faire.

Pourrais-tu développer les polynômes symétriques, je n'ai pas bien saisis.
Merci d'avance :++:

[Dinozzo13]

Par contre, je crois que t'as oublié quelque chose à la fin de la question 3) : "en les "

[benekire2]

tu t'embête trop pour la 2, on te demande simplement d'en citer un de chaque "catégorie" ... :id:

[manon_n]

Bonjour,
Je ne comprends rien à l'énoncé de la question 3, pouvez vous reformuler s'il vous plait ? Merci.

[manon_n]

En fait je ne comprends pas et la notation utilisée et la question en elle même, si vous pouvez donner un exemple ce serait super.

[Olympus]

Question pour nightmare , ici on est a 3 variables donc peu de mermutations, mais mettons qu'on ait un polynôme a 15 variables (théorique obv.. ) alors comment prouver qu'il est symétrique ? Y a-il des méthodes ?

Un polynôme est symétrique si et seulement si tu peux l'écrire avec des uniquement ^^

Exemple :



est symétrique car tu peux le réécrire comme .

Mais

n'est pas symétrique mais plutôt cyclique, car la meilleure écriture que tu peux lui donner c'est .

Ceci dit, j'ai du mal à comprendre ces énoncés, peut-être que c'est à cause des notations :hein:

[Olympus]

Je n'ai pas compris la notation utilisée dans le 3), mais par hasard, le petit sigma c'est pas le k-ème polynôme symétrique élémentaire à n indeterminées ?

[Doraki]

Pour construire , tu sommes tous les monômes que tu peux construire avec X1...Xn, qui contiennent exactement k variables :



La question est de montrer que si P(X1...Xn) est symétrique, alors il existe un polynôme Q
tel que

Par exemple, pour n=2, il faut montrer que si P(X,Y) est symétrique (si P(X,Y) = P(Y,X)),
alors il existe un polynôme Q tel que P(X,Y) = Q(X+Y,XY)