Jet verticale

par **Anonyme** » 03 Avr 2006, 16:47

bonjour vous pouvez m'aider à faire cet exo SVP?

Saturnin s'amuse au jet verticale d'un gros silex (masse volumique= 2.7*10^3 kg.m^3), de masse m=5.2kg, dont le facteur de forme aérodynamique est Cx=1 lorsqu'il est lancé perpendiculairement à sa section d'aire S= 0.020m². La vitesse initiale est dirigée vers le heut et a pour valeur V0=15m*s^(-1).
1/ Calculer la hauteur maximale de montée en l'absence d'atmosphère et la durée de montée.
2/ On prend en compte les forces dues à l'air (masse volumique : 1.2 kg.m^(-3) dans les conditions de l'expérience). On suppose que le frottement est de la forme:
fr= k*V² avec k=1/2*µ0*S*Cx.
a/ Ecrire l'équation différentielle du mouvement.
En déduire l'expression de la variation Delta V de la vitesse lors de la montée, pour un pas delta t = 0.010s.
b/ On utilise la méthode des variations d'Euler avec un pas delta t = 0.010s.
Exprimer la vitesse Vn à l'instant tn=t(n-1) + delta t en fonction de V (n-1) à l'instant t(n-1).
3/ a/ Exprimer delta z en fonction de V et de delta t.
b/ Exprimer zn à la date tn=t(n-1)+delta t en fonction de z (n-1) et de la variation delta z.
c/ Déterminer l'altitude maximale atteinte.

merci d'avance.

de la part d'un élève déprimé :(

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 13:53

j'ai réussi la 1/ mais je bloque à la fin de la 2/ a) :(

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 14:13

Bonjour,
Pour résoudre la 2/ il faut que tu réécrives ton équation différentielle. En 1/ tu as supposé que seul le poids s'exercait sur ton mobile. Maintenant tu as deux forces: le poids du mobile et une force de frottement qui dépend du carré de la vitesse (F = -k*v*v). La forme de ton equa diff sera sensiblement différente et la forme des solutions aussi...

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 14:16

Si tu veux un topo sur la méthode d'Euler, va voir sur le site http://www.TangenteX.com à la page Introduction au FORTRAN. Il y a une petite intro à cette méthode de résolution d'EDO.

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 14:44

j'ai fait Vn=V(n-1) +( -g +µair/µsilex*g -kv²/m)*(tn-tn-1)
c'est ça?

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 16:26

saturninlenain a écrit:j'ai fait Vn=V(n-1) +( -g +µair/µsilex*g -kv²/m)*(tn-tn-1)
c'est ça?

fais attention! As-tu écris ton équation différentielle? Il faut le faire. Tu t'apercevras que le v² que tu traînes dans ton membre de droite est à prendre en considération...

Ton équation est de la forme m*dv/dt = m*g - k*v² où v et g sont des vecteurs..
Ton approximation eulerienne n'est pas correcte.

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 16:59

pour l'équation différentielle vous n'avez pas oublié la poussée d'archimède?

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 17:28

saturninlenain a écrit:pour l'équation différentielle vous n'avez pas oublié la poussée d'archimède?

En principe, pour un mouvement dans l'air, en considérant le frottement aérodynamique, on néglige la poussée d'Archimède. Tu peux t'amuser à la calculer, elle est vraiment négligeable...;

Si tu projettes sur une base O,i,j dans un référentiel orthonormé, tu obtiens une EDO de la forme:

d2x/dt2 = -a - (k*m)((dx/dt)2 + (dy/dt)2)ux
d2y/dt2 = -g -(k*m))((dx/dt)2 + (dy/dt)2)uy

où a est l'accélération (à voir selon les conditions initiales) sur l'axe des x, ux et uy les cosinus directeurs du vecteur vitesse.

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 17:56

j'ai trouvé Vn=V(n-1) +( -g + -kv²/m)*(tn-tn-1) à la fin pour la 2/ a c'est ca?

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 18:04

j'comprend rien :(
SVP aidez moi

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 18:46

qu'as-tu trouvé comme équation différentielle du mouvement en ne l'intégrant que pour la vitesse?

Tu dois avoir une EDO de la forme dv/dt = ...

par **Dominique Lefebvre** » 04 Avr 2006, 18:48

Si tu écris le PFD, tu obtiens:
dv/dt = -g - (k/m)v*v

non?

C'est sur cette EDO qu'il faut que tu appliques Euler pour calculer la vitesse.

par **Anonyme** » 04 Avr 2006, 21:55

donc v=-gt-k/2m*V^3 ?

Je n'y arrive vraiment pas pour cette question :( je reste bloqué

par **Dominique Lefebvre** » 05 Avr 2006, 13:45

saturninlenain a écrit:donc v=-gt-k/2m*V^3 ?

Je n'y arrive vraiment pas pour cette question je reste bloqué

Euh non, pas vraiment...

Ton EDO est de la forme y' + a*y^2 + b = 0

Si tu appliques la définition d'Euler à ton équation, tu obtiens:

dv/dt = -g - (k/m)v*v => v(n+1) = v(n) - (k/m*v(n)*v(n) +g)*dt

ça te parle? N'oublie pas de fixer la valeur initiale de v(0)...

par **Anonyme** » 05 Avr 2006, 18:33

merci beaucoup :)

Ensuite on me demande de trouver l'instant où V=0.
Mais je trouve t=0 c'est pas normal si?

par **Dominique Lefebvre** » 05 Avr 2006, 20:43

saturninlenain a écrit:merci beaucoup

Ensuite on me demande de trouver l'instant où V=0.
Mais je trouve t=0 c'est pas normal si?

ça dépend. Je ne me souviens plus de ton énoncé, mais celui-ci devrait te donner les conditions initiales du mouvement. Est-il précisé que la vitesse initiale est nulle? c'est souvent le cas...
Tu auras sans doute remarqué la forme de la trajectoire. Elle passe par un extrémum. Or à un extrémum, la dérivée s'annule. Et la vitesse est la dérivée de x(t)...

PS: je viens de relire ton énoncé: la vitesse initiale n'est pas nulle...

par **Anonyme** » 05 Avr 2006, 20:57

On trouve un truc dans les 1 min c'est beaucoup non?

par **Dominique Lefebvre** » 05 Avr 2006, 21:34

Je ne sais pas, je n'ai pas fait le calcul.

Si tu veux un ordre de grandeur, fait le calcul en négligeant la résistance de l'air . Tu auras un mouvement parabolique standard (tu sais, z = 1/2gt^2 + v0t + z0) et les calculs sont bien connus et surtout analytiques.. Cela te donnera un majorant pour l'altitude et le temps de vol de l'objet.

par **Anonyme** » 05 Avr 2006, 21:45

lorsque j'utilise dv/dt = -g - (k/m)v*v => v(n+1) = v(n) - (k/m*v(n)*v(n) +g)*dt cela me donne une droite alors que ca devrait me donner une parabole non?

par **Dominique Lefebvre** » 06 Avr 2006, 08:48

Bonjour,

Une droite ! Y a un schisme quelque part !!

Allez, reprenons tout depuis le début...

L'application du PFD donne l'équation vectorielle suivante:

ma = mg -k*||v||v (les lettres en gras sont des vecteurs)

d'où dv/dt = g - (k/m)*||v||v

Je me place dans un référentiel xOz (sqrt est la racine carrée)
En projetant sur Ex, on trouve dvx/dt = -(k/m)*sqrt(vx^2 + vz^2)*vx
En projetant sur Ez, on trouve dvz/dt = -(k/m)*sqrt(vx^2 + vz^2)*vz

j'applique la méthode d'Euler à ces deux équations différentielles. Pour calculer la vitesse, cela donne:

vx(t +dt) = vx(t) - (k/m)*sqrt(vx(t)^2 +vz(t)^2)*vx(t)*dt
vz(t +dt) = vz(t) - (k/m)*sqrt(vx(t)^2 +vz(t)^2)*vz(t)*dt

avec les conditions initiales vx(0) = v0*cos(alpha) et vz(0) = v0*sin(alpha).

Pour calculer les coordonnées du mobile:
x(t + dt) = x(t) + vx(t)*dt
z(t + dt) = z(t) + vz(t)*dt

En traçant la courbe z = f(x), tu dois trouver une courbe qui ressemble à une parabole. Ah oui, la vitesse limite du mouvement est sqrt(m*g/k).

Est-ce plus clair comme ça?

Si tu as FORTRAN et Gnuplot (va voir sur TangenteX.com), je peux te faire très rapidement un programme qui te trace cette courbe

Jet verticale

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