Etude de fonctions - Dérivés - Euler

[spidertaha]

Bonjour,

J'ai un exercice de mathématiques qui me pose problème (Ce problème intervient dans l'étude de la méthode d'Euler, la première partie de cette exercice ayant été faite).

On a ceci :

f est une fonction définie et dérivable sur ]0 ; +infini [ tel que f(1)=0 et f '(x)= 1/x.

On tente de démontrer que f(a x b) = f(a) + f(b).

Soit k(x) définie sur ]0 ; +infini[ par k(x) = f(ax) - f(a) - f(x).

a) calculer k'(x) et montrer que c'est une constante
b) calculer k(1) et en déduire que f(ax)=f(a)+f(x). Remplacer x par b et conclure.

Je trouve pour k'(x)=(1-x-a)/(ax). Et puis je n'arrive plus à continuer.

Merci de bien vouloir m'aider

[spidertaha]

PS : a) Montrer que k est une fonction constante

[Ben314]

Salut,

La dérivée d'une somme, c'est la somme des dérivées.

La dérivée de x->f(a), c'est x->0 vu que f(a) ça dépend pas de x.
La dérivée de x->f(x), par hypothèse, c'est x->1/x.
Reste le plus difficile :
La dérivée de x->f(ax) c'est... (attention, a est une constante)


Indication : sait tu quelle est la dérivée de x->sin(5x) ?

[Ericovitchi]

non revoies ton k'
k'(x)=af'(ax)-f'(x) remplaces f'(x) par son expression, tu dois trouver 0
Est-ce que tu as compris k'(x)=af'(ax)-f'(x) ?

EDIT = zut j'ai vendu la mèche pleine de suspens entretenue par ben.

[spidertaha]

Je crois que la dérivé de f(ax) est a x 1/x = a/x (je ne suis pas du tout sûr).

Du coup k'(x)=a/x - 1/x = a-1/x . Mais vu qu'il n'est pas dit que a=0, je ne vois pas très bien comment on trouve k'(x)=0.

Sinon la dérivée de sin(5x) est 5cos(x) je crois.

Merci de compléter vos explications.

[spidertaha]

L'ILLUMINATION !!!

Je crois que j'ai trouvé !!!

f(ax) est de la forme f(ax+b) où b=0, donc on applique la formule (f(ax))'=af'(ax)

donc k'(x) = a x 1/ax - 1/x - 0 = 0. La dérivée étant nulle, k est constante.

Puis,

k(1)= f(a)-f(a)-f(1) = f(1) = 0 et donc k(x) = 0

Donc on a : 0=f(ax)-f(a)-f(x) donc f(ax)=f(a) + f(x) et on remplace la variable x par b et on a f(ab)=f(a)+f(b)

Est-ce bien ça ?

Merci de répondre

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.
Principalement, tu avais oublié le 'a' devant le x dans :
dérivée de x->f(ax+b) : x->a f'(ax+b)
(à la fois pour ton exo et pour x->sin(5x) de dérivée x->5cos(5x) )

[spidertaha]

Compris.

Je tiens à vous remercier et à bientôt