Factoriser x^8+1

[Dinozzo13]

Donc, le fait de pouvoir factoriser ce genre d'expression permet de trouver certaines valeurs d'angles.

[benekire2]

bah, même si l'astuce est classiqe, j'avoue que c'est pas mal reboutant. J'aurais fis ça à la calculette tellement j'aurais eu la flemme !! :++:

[Ben314]

En fait, pour la recherche de cosinus d'angles, la "méthode théorique", elle marche à tout les coups, mais la méthode pratique, si on reste dans cet ordre d'idée, elle ne marche que pour des valeurs particulières.

En fait, les polynômes que l'on arrive à factoriser avec ce type de méthode sont ceux tels que n soit une puissance de 2 fois un produit (sans exposants) de nombre premiers de Fermat, c'est à dire des premiers de la forme : 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , ?
Par exemple, ici on a factorisé ce qui est à peu prés équivalent à la factorisation de . Or est de la "bonne" forme.

Si tu aime les "challenges" assez coriaces, tu peut essayer de factoriser et en déduire... la construction d'un polygône régulier à 17 cotés à la règle et au compas...

[Dinozzo13]

Si tu aime les "challenges" assez coriaces, tu peut essayer de factoriser et en déduire... la construction d'un polygône régulier à 17 cotés à la règle et au compas...

Sous forme de facteur de quel degré ?

[Ben314]

Facteurs de degré 1 et degrés 2 à coefficients réels.
Et, évidement deux factorisations :
-une "théorique" avec des cos(2k pi/17)
-une "non théorique" avec des tas de racines carrées...

[benekire2]

c'est fourbe ça ... l'heptadécagone ( c'est comme ça qu'on dit ? ) c'est Gauss qui a trouvé la méthode de construction il me semble .. ça doit pas être évident à mon avis :we:

[benekire2]

je préviens dinno, c'est HORRIBLE les valeurs des cosinus associés ...

PS: Ben : Comment démontre-on le théorème de Gauss-Wantzel ? ( celui qui donne une CNS pour la constructibilité des n gones réguliers )
MErci !!

[Ben314]

C'est une des jolies applications de la théorie de Galois.
On montre (sans Galois du tout) que, connaissant le point O:(0,0) et I:(1,0) un point M:(x,y) est constructible ssi x et y peuvent s'exprimer à l'aide de racines carrées (somme, produit, et éventuellement emboitées) de quotients, ce qui signifie que x et y sont solutions d'un polynôme à coeff entier que l'on doit pouvoir factoriser en utilisant uniquement du second degrés.
Cela s'exprime de façon assez simple dans la théorie de Galois qui a justement pour but d'étudier les méthodes de factorisation d'un polynôme.

Par contre, la théorie de Galois elle même, je suis pas convaincu d'avoir assez de recul pour en donner une image simple à un lycéen.
Disont que, en trés simplifié, on regarde ce qui se passe quand on permute les racines d'un polynôme.
Par exemple le polynôme X²+1 à coeff réels a pour racines (dans C) i et -i.
"permuter les racines", dans ce cas, ça veut dire considérer la fonction qui à x+iy (x,y réels) associe x-iy (son conjugué)
De même le polynôme X²-2 à coeff dans Q a pour racines racine(2) et -racine(2) donc "permuter les racines", ça veut dire considérer la fonction qui à x+y.racine(2) (x,y dans Q) associe x-y.racine(2)
Bon, ça te donne pas une grosse idée de la théorie, mais ça te fait peut être entrevoir que c'est une généralisation de méthodes "classiques".

Edit : La première partie [i.e. (x,y) constructible ssi x et y s'expriment avec des quotients et des racines et tout à fait abordable pour un lycéen.
A mon avis, la seule dificulté est dans le sens <= ou il faut trouver comment on fait la racine carrée d'un segment déjà tracé...

[benekire2]

pour la constructibilité d'une longueur, je suis par contre pas convaincue que la réciproque soit si évidente que ça ... puisque des nombres non rationnels sont constructibles, il me semble, sans dire de bêtise je crois qu'il s'agit des algébriques... justement solutions d'équations polynomiales à coeff dans Z. ( a confirmer obv)

[Ben314]

Non, justement, les "nombres constructibles" ne sont ni les rationnels (puisqu'on sait faire des racines, on peut en particulier tracer racine(2)), ni les algébriques (on ne peut pas tracer racine_cubique(2) qui est algébrique, mais qu'on ne peut pas écrire avec seulement des racines carrées)
Si on savait faire exactement les algébriques, on ne pourrait toujours pas faire la quadrature du cercle (pi est irrationnel) mais on saurait faire la trisection de l'angle, i.e. couper un angle en trois sous angles égaux (qui correspond à chercher une racine cubique) or, justement, on peut pas trisecter un angle quelconque...

[benekire2]

d'accord, autant pour moi, je croyais que les nombres algébriques étaient tous constructibles ... je me tait :dodo:

[Ben314]

Je pense que, niveau Lycée, en gratant bien, on doit arriver à montrer qu'il existe des angles qu'on arrive pas à trisecter.
De toute façon, la première étape, c'est :
M:(x,y) est constructible <=> x et y s'écrivent avec des quotients et des racines carrées.

Si tu veut chercher, ça me semble jouable niveau Lycée.
Le plus simple est sans doute la partie =>.

Définition : Un point est constructible en partant d'autres points déjà donnés si on peut l'obtenir (récursivement) comme intersection de droites passant par des points déjà construits et/ou de cercles centré en des points déja construits et de rayon égal à la distance entre deux points déjà construit.
Ici, Au départ, on suppose que l'on a les points O:(0,0) et I:(1,0) [avec un seul point de départ et la déf ci dessus, on peut rien faire...]

[Zweig]

Salut,

Je suis en pleine lecture de "Théorie des corps : la règle et le compas", et je le conseille vivement (il est accessible à un lycéen courageux). On y démontre, entre autre, le fameux théorème de Wantzel. On y traite aussi des fameux problème de la quadrature du cercle, trisection de l'angle et duplication du cube et plein d'autres choses liées à la construction à la règle et au compas (tout y est démontré de manière "élémentaire").

[benekire2]

merci pour le titre du bouquin Zweig !

[Je ne possède aucun bouquin .. mis a part ceux de cours :cry: ]

[Ben314]

Allez Hop, "Théorie des corps : la règle et le compas" commandé (je connaissait pas...)

Ca m'interessse de voir comment faire des preuves un peu plus élémentaires :
- Pour la trisection de l'angle je pense qu'il y a pas trop de problème (modulo d'arriver à faire comprendre la notion de polynôme minimal d'un nombre algébrique)
- Pour la quadrature du cercle, il y a le p.b. de montrer que pi n'est pas algébrique (ou au moins qu'il est pas constructible...)
- Pour les polygônes réguliers, je me demande comment ils procèdent : faut quand même un peu de structures "abstraites" (groupes, automorphismes de corps...) où on peut s'en passer ?

[windows7]

bene > enfait un nombre est constructible ssi il est dans une extension de Q
avec une certaine tour de corps Kn/ .. /K1 = Q et ordre de Ki dans Ki+1 egale a 2

[benekire2]

Re,

Tout à l'heure je regardais justement ce sujet ^^
Merci pour tes précisions !

Ben ->> Quand tu met :
M:(x,y) est constructible <=> x et y s'écrivent avec des quotients et des racines carrées.

T'as l'air de dire que <= est le plus dur a montrer ,mais moi c'est l'inverse, j'arrive a montrer <= Vu que je sais construire une racine et un quotient à la règle et au compas. Par contre pour montrer que :

M:(x,y) est constructible => x et y s'écrivent avec des quotients et des racines carrées.

j'y arrive pas. Quelles sont les pistes qu'il faut suivre ?

Merci :lol3:

[Ben314]

Ben dans le sens =>, tu le fait évidement par réccurence sur le nombre "d'étapes" nécéssaires à la construction du point.
Il suffit donc de montrer que, si A,B,C,D,E,F sont des points dont les coordonnées s'écrivent à l'aide de racines carrées de quotients alors
1) L'éventuel point d'intersection de (AB) avec (CD) a lui aussi des coordonnées qui s'écrivent à l'aide de racines.
2) Les éventuels points d'intersection de la droite (AB) avec le cercle de centre C de rayon DE a lui aussi des coordonnées qui s'écrivent à l'aide de racines.
3) Les éventuels points d'intersection du cercle de centre A et de rayon BC avec le cercle de centre D de rayon EF a lui aussi des coordonnées qui s'écrivent à l'aide de racines.

Tout cela consiste juste à vérifier que ces constructions correspondent uniquement à des résolutions d'équations de degrés 1 ou 2.

[benekire2]

Ouais mais on admet que pour construire des points on a que des droites et que des cercles ...
En fait c'est pas aussi dur que je le croyais !

Edit: C'est con étant donné qu'on a une règle et un compas ..

[Ben314]

Ouais mais on admet que pour construire des points on a que des droites et que des cercles ...

Il me semble de plus que, pour qu'il n'y ait pas d'ambigüité, j'avais bien précisé la définition de "point constructible" :

Définition : Un point est constructible en partant d'autres points déjà donnés si on peut l'obtenir (récursivement) comme intersection de droites passant par des points déjà construits et/ou de cercles centré en des points déja construits et de rayon égal à la distance entre deux points déjà construit.