Factoriser un polynôme n'ayant pas de racines réelles

[youssefolympiad]

quand on m'a donné cet exercices aus olympiades kenitra /maroc j'ai fait ceci :
la signe * veut dire a la puissance
on a
(x*9) - 1 = (x-1) ( x*8 + x*7 +x*6 + x*5 + x*4 + x*3 +x*2 +x + 1) on appelle ca (1)
d'autre part (x*9) - 1 = (x-1) ( x*2 + x +1 ) (x*6 + x*3 +1) (on applique 2 fois lidentité (X*3 - 1 =...) on appelle se resultat (2)
et on a ( x*8 + x*7 +x*6 + x*5 + x*4 + x*3 +x*2+ x + 1)=x*8+x+1 +(x*7 +x*6 + x*5)+( x*4 + x*3 +x*2 )=x*8+x+1+ x*5 ( x*2 +x+1) +x*2 (x*2+x+1)=x*8+x+1 + (x*5 +x*2 )(x*2 +x+1) on appela ca (3)

dapres (1) ;(2) et(3) on a pr tous x différent de 1 :
( x*2 + x +1 ) (x*6 + x*3 +1) =x*8+x+1 + (x*5 +x*2 )(x*2 +x+1)
en deduir que :
x*8+x+1=( x*2 + x +1 ) (x*6 - x*5 +x*3 -x*2 +1 ) :ptdr:

[Olympus]

Salut !

Le sujet est un peu vieux, mais jolie démo, merci !

Traité récemment ici aussi : http://www.maths-forum.com/inegalite-factorisation-109917.php ^^