Preuve - valeur maximale

par **atreyyu** » 30 Avr 2010, 20:15

Salut !

Il y a des nombres réels positifs

tels que

et

. Démontrer que

par **Ben314** » 30 Avr 2010, 21:24

Salut,
Si tu connait bien les propriétés des polynômes du second degré, j'ai une soluce :
Les réels b et c vérifient b+c=17-a et bc=64/a donc, en fait b et c sont les racines du polynôme P(X)=X²-(17-a)X+64/a.
Or vu les variations d'un tel polynôme, on sait que, si

il aura une racine supérieure à 8 et on aura

.
Reste à regarder le cas où

mais, si on factorise

on voit que...

par **atreyyu** » 30 Avr 2010, 21:48

J'ai quelques questions.
Pourquoi considérons-nous la valeur de ce polynôme spécifiquement pour x = 8?
Pourquoi on ne fait pas cela pour 0Dans l'ensemble, je ne sais pas comment a poursuivre. Je sais polynômes du 2e degré assez bien, mais je ne vois pas comment il pourrait m'aider ici.

par **atreyyu** » 30 Avr 2010, 21:57

Ben314 a écrit:...et on aura .

Pouvez-vous me montrer comment prouver cette partie ?
Pourquoi examinons-nous à tous compte la valeur de ce polynôme seulement pour x = 8 ? Et comment factorise-t-on

?

par **Ben314** » 30 Avr 2010, 22:27

Le polynôme P, vu que son coeff de degrés 2 est positif, a pour tableau de variations : +oo ; décroissant ; croissant ; +oo
S'il est négatif au point 8, on peut donc en déduire qu'il a une racine avant 8 et une autre aprés 8 : la plus grande des deux est plus grande que 8.

On examine le polynôme en x=8 tout simplement parce que l'on se demande s'il y a ou s'il n'y a pas de racine plus grande que 8.

Pour la factorisation de P(8), c'est une formule avec des 'a' : tu réduit au même dénominateur puis tu constate que le numérateur est un polynôme du second degrés en 'a' que l'on sait factoriser à l'aide de Delta=...

par **atreyyu** » 01 Mai 2010, 09:16

Je ne comprends pas encore. P (8) n'est pas un polynôme du second degré, elle est égale à

. Pourquoi devrais-je le factoriser?

par **Ben314** » 01 Mai 2010, 09:27

Vu que

on a

...

par **atreyyu** » 01 Mai 2010, 11:02

Ah bien, j'ai accidentellement supprimé le dénominateur de

. Ainsi, la factorisation est

? Que dois-je faire ensuite?

par **Ben314** » 01 Mai 2010, 13:08

Ben, déjà, tu peut reprendre la factorisation, vu qu'elle est fausse...
Ensuite, tu te pose la question "mais pourquoi diable ai-je factorisé P(8) ?"

par **atreyyu** » 01 Mai 2010, 13:44

Pourquoi est-elle fausse ?
J'ai transformé

en

, ici les racines sont évidemment -

.

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