Parallélogramme d'aire maximale

par **bourriquette80** » 04 Nov 2009, 16:23

Bonjour a tous. Il y a un exercice dans le dm de maths que j'ai a faire que je n'arrive pas du tout. :triste: J'aimerais beaucoup avoir de l'aide .. :help:

* Parallélogramme d'aire maximale.

Soit ABC un triangle isocèle tel que AC=5 et BC=6. Un point N se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B. M est l'intersection de (AC) et de la parallèle à (BC) passant par N. On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère NMQB soit un parallélogramme.
On pose AN=x, avec O J'ai trouver ABC=15, je ne sais pas si c'est bon. [/I]

2. a) Montrer que MN= 6/5 x ( > J'ai utiliser le théorème de thalès, et trouver AN/AB = MN/BC donc x/5=MN/6 donc MN=6/5 x, mais encore un fois, je ne sais pas si c'est ça.
b) En déduire l'aire du triangle AMN

3. Montrer que QC= 6/5 (5-x)
En déduire l'aire du triangle CMQ.

4. Montrer que: f(x)=12-12/25(5-x)²-12/25 x²

5. Montre que f(x) s'écrit aussi: f(x)=12/25(-2x²+10x).

6. Calculer f(5/2) et montrer que: f(x)-f(5/2)=-24/25(x-5/2)²

7. Quel est le signe de f(x)-f(5/2)? En déduire le maximum de f sur l'intervalle [0;5].

Merci beaucoup de votre aide parce que la, je vais me cogner la tête contre les murs :mur: .

par **Ericovitchi** » 04 Nov 2009, 16:44

1. Aire ABC. Non
la hauteur vaut 4 (l'hypothénuse vaut 5, l'autre coté 3, donc le troisième coté vaut 4, cf. pythagore) et donc la surface vaut 6 x 4 /2 = 12

2. oui très bien pour MN=6x/5

Pour calculer l'aire de AMN, il te faut la hauteur h du parallélogramme.
Tu la calcules par Thalès comme tu as déjà fait AN/AB=(4-h)/4
donc x/5=(4-h)/4 tu en déduis h puis f(x) = (6x/5) . h

QC c'est BC - BQ donc BC-MN donc 6- 6x/5 etc...

par **bourriquette80** » 04 Nov 2009, 17:27

Merci beaucoup :happy2: .

Pour CQ je trouve donc 6-6x/5 mais il faut que je montre que QC= 6x/5(5-x) alors je ne sais pas comment faire .. A moins que le fait de mettre 6 entre parenthèse lui fasse devenir un 5 je vois pas grand chose.. :doh: ( J'invente certainement quelque chose là mais bon, quand on est désespérée ^^ )

par **Ericovitchi** » 04 Nov 2009, 17:32

C'est pareil
6- 6x/5 = 6 (1-x/5) = 6(5-x)/5

par **bourriquette80** » 04 Nov 2009, 17:49

Merci :happy2: .

Pour la question 4, l'aire du parallélogramme est la différence entre l'aire du triangle ABC et des 2 triangles AMN et MQC. Je le sais mais je sais pas comment faire .. Je suis nulle en maths :cry:

par **Ericovitchi** » 04 Nov 2009, 18:04

Effectivement
l'aire du triangle : on avait trouvé 12
l'aire AMN
il faut la hauteur h du triangle AMN. Elle est telle que h/4=x/5 (Thalès entre AMN et ABC) donc h=4x/5
et l'aire AMN = 6x/5 . 4x/5 . 1/2 = 24x²/50 = 12x²/25

l'aire QCM
il faut la hauteur q du triangle QCM
Thalès entre QCM et ABC --> q/4=QC/6=(5-x)/5 -->q=4(5-x)/5
donc la surface de QCM = QC . q /2 = 6(5-x)/5 . 4(5-x)/5. 1/2 = 12(5-x)²/25

Donc f(x) l'aire du trapèze = 12- 12x²/25 - 12(5-x)²/50
qui est bien la valeur que l'on te demandait de trouver.

par **bourriquette80** » 04 Nov 2009, 18:42

C'est bien cela que j'avais trouvé, merci de me le confirmer :happy2: .

Pour la Q.5 je doit calculé f(x)?

par **Ericovitchi** » 04 Nov 2009, 18:43

oui il faut développer f(x) et trouver f(x)=12/25(-2x²+10x)

par **bourriquette80** » 04 Nov 2009, 19:09

quand j'essaye de développer je trouve un truc de ce genre:

300/25-12/25+25-10x+x²-12/25x²

Je ne suis pas sur d'aller dans la bonne direction ..

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