Nombres Premiers et Congruences

[Bidoux27]

Bonjour voilà j'ai un gros DM j'ai réussi quelques exercices mais il y en a un ou j'ai du mal :
x désigne un entier supérieur ou égal à é et m un entier naturel non nul.
Exprimer P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + .... - x^2m-1 + x^2m en fonction de x.
Je trouve (1 + x^2m+1)/1+x
En déduire que x+1 divise x^2m+1. C'est bon.

2.a. q désigne un entier naturel impair strictement supérieur à 1 et q' un entier naturel non nul. Démontrer que 2^qq' + 1 n'est jamais un nombre premier.
b. m désigne un entier naturel non nul. Démontrer que si 2^m + 1 est premier alors m est de la forum 2^m + 1 est premier alors m est de la forme 2^n avec n entier naturel.

Question indépendante :
L'entier 2^(2^n) + 1 avec n entier naturel est appelé n-ième nombre de Fermat et il est noté Fn.
3.a. Montrer que pour tout entier naturel m 6^m ;) 1[5] et en déduire que pour tout entier naturel m non nul on a : 6^m ;) 6[10].
b. Vérifier que 2^4 ;) 6[10] puis démontrer que pour tout entier naturel n , n;)2 que 2^(2^n) ;) 6[10].
c. Quel est le chiffre des unités de Fn ?
4.a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul : 56^(2^4k) ;) 56[100].
b. Vérifier que 2^8 ;) 56[100] et en déduire que si n ;) 3[4], l'écriture décimale de Fn se termine par 57.

[Dinozzo13]

Salut !
L'exercice à l'air intéressant, je m'y met et si je trouve je te fait signe.

[Ben314]

Salut,
Pour le 2)a), tu utilise le 1) avec q=2m+1 (q est impair) et 2^q'=x.
Pour le 2)b), tu dit que, si l'entier m n'était pas une puissance de 2, sa décomposition en nombres premier contiendrait un nombre (premier) impair et tu utilise le 2)a)

Les "questions indépendantes" ne sont pas trés dures, c'est surtout des récurrences (et des vérifications).
Je te laisse chercher...

[Bidoux27]

Pourrais-tu détailler là 2)a) j'ai vraiment du mal pour celle là.
Pour la 3.A. j'ai dit que 6 ;) 1[5] <=> 6^m ;) 1^m [5] <=> 6^m ;) 1[5] mais je vois pas en quoi on peut en déduire que 6^m ;) 6 [10].

b. 2^4 = 16 ;) 6[10], la démonstration idem je vois pas comment.
c. Le chiffre des unités de FN j'ai conjecturé 7. Et je l'ai prouvé à l'aide d'un raisonnement par récurrence :
F3=257 donc F3 ;) 7 [10] <= Initialisation vérifiée.

supposons que Fn ;)7 [10]

donc Fn-1 ;)6 [10]
(Fn-1)²;)36 [10]
;) 6 [10]
donc (Fn-1)²+1;)6+1[10] ;)7 [10] <= Hérédité vérifiée.

d'où F(n+1) ;) 7 [10], j'ai bon ?

4.a Je dois faire encore de la récurrence ?