Classes d'équivalence, ensembles (?)

[Anonyme]

Bonjour,


dans le cadre d'un cours (TS"+") d'arithmétique, nous en sommes arrivés à
vouloir généraliser le petit théorème de Fermat avec l'indicateur d'Euler.
Pour démontrer cette extension, nous avons raisonné (dans Z/nZ avec n fixé)
à partir des classes d'équivalences, et considéré notemment des produits de
classes d'équivalence. Seulement nous n'avons pas vraiment (ou je n'écoutais
pas...) la définition de ce produit, et donc je me demande ce que représente
a\ * b\, a\ et b\ étant des classes d'équivalence de Z/nZ. Qu'est ce que ce
produit (a\ * b\ = (a*b)\ ?), comment montre-t-on qu'il s'agit d'une classe
d'équivalence ?

merci de votre aide

albert

--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)

(enlevez les *** pour me répondre en privé)

[Anonyme]

albert junior wrote:
>je me demande ce que représente a\
> * b\, a\ et b\ étant des classes d'équivalence de Z/nZ. Qu'est ce que
> ce produit (a\ * b\ = (a*b)\ ?), comment montre-t-on qu'il s'agit
> d'une classe d'équivalence ?

On montre très facilement que le produit d'une congruence modulo n par une
autre congruence modulo n est encore une congruence modulo n. En d'autres
termes, (et si j'ai bien compris ce que c'est que Z/nZ), le produit d'une
classe d'équivalence de Z/nZ par une autre classe d'équivalence de Z/nZ est
aussi une classe d'équivalence de Z/nZ.

Pierre J

[Anonyme]

On Wed, 11 Feb 2004 19:12:04 +0100, albert junior
wrote:

>Bonjour,
>
>
>dans le cadre d'un cours (TS"+") d'arithmétique, nous en sommes arrivés à
>vouloir généraliser le petit théorème de Fermat avec l'indicateur d'Euler.
>Pour démontrer cette extension, nous avons raisonné (dans Z/nZ avec n fixé)
>à partir des classes d'équivalences, et considéré notemment des produits de
>classes d'équivalence. Seulement nous n'avons pas vraiment (ou je n'écoutais
>pas...) la définition de ce produit, et donc je me demande ce que représente
>a\ * b\, a\ et b\ étant des classes d'équivalence de Z/nZ. Qu'est ce que ce
>produit (a\ * b\ = (a*b)\ ?), comment montre-t-on qu'il s'agit d'une classe
>d'équivalence ?
>

je note cl(a) la classe de a , cad tous les entiers relatifs de la
forme a+k*n , k dans Z

cl(a)=cl(b) ssi a=b mod n

Z/nZ est constitué de n éléments
cl(0) cl(1) cl(n-1)

on définit une multiplication dans Z/nZ par
cl(a)*cl(b) = cl(a*b)
mais cette définition sera valide que si
cl(a)=cl(a') et cl(b)=cl(b')
on a effectivement cl(a*b)=cl(a'*b')

ce qui est vrai car si
a=a' mod n
b=b' mod n
on a
a*a'=b*b' mod n

par exemple dans Z/6Z
cl(2)*cl(3)=cl(6)=cl(0)

cl(4)*cl(4)=cl(16)=cl(4)
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

>on a effectivement cl(a*b)=cl(a'*b')
>
>ce qui est vrai car si
>a=a' mod n
>b=b' mod n
>on a
>a*a'=b*b' mod n
>
bien sûr remplacer cette dernière ligne par a*b=a'*b' mod n

[Anonyme]

Am 11/02/04 20:53, sagte Marc Pichereau
(marc.pichereauantispam@wanadoo.fr.invalid) :


> je note cl(a) la classe de a , cad tous les entiers relatifs de la
> forme a+k*n , k dans Z
>
> cl(a)=cl(b) ssi a=b mod n
>
> Z/nZ est constitué de n éléments
> cl(0) cl(1) cl(n-1)
>
> on définit une multiplication dans Z/nZ par
> cl(a)*cl(b) = cl(a*b)

d'accord
c'était l'intuition que j'avais

> mais cette définition sera valide que si
> cl(a)=cl(a') et cl(b)=cl(b')
> on a effectivement cl(a*b)=cl(a'*b')
>
> ce qui est vrai car si
> a=a' mod n
> b=b' mod n
> on a
> a*a'=b*b' mod n
>
> par exemple dans Z/6Z
> cl(2)*cl(3)=cl(6)=cl(0)
>
> cl(4)*cl(4)=cl(16)=cl(4)

merci beaucoup


albert

--
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