Ensembles

[Anonyme]

Bonjour

J'ai un pb de compréhension sur l'intersection
ensembliste.

Soit  un ensemble d'ensembles. On définit la réunion
U des éléments de  par :
(qqs x) (x ? U R(x))

Où R(x) est la relation :
(qqs X) (X ? Â => x ? X)

Je ne sais pas si cela vous cause. En gros, x est élément
de U ssi R(x) est vraie, mais c'est l'expression de R(x)
qui me paraît assez trouble ...

Merci d'avance de vos lumières

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Je ne sais pas si le caratère Euro sort bien chez vous.
Je retape le texte au cas où ...

Soit  un ensemble d'ensembles. On définit la réunion
U des éléments de  par :
(qqs x) (x in U R(x))

Où R(x) est la relation :
(qqs X) (X in  => x ? X)

Ce qui me gène, c'est que l'implication est vraie pour
tout ensemble X qui n'est pas dans Â. Par conséquent
on va mettre dans U les éléments de tous les ensembles
qui ne sont pas éléments de  ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bn38v8$ph1$1@news.mgn.net...

> Soit  un ensemble d'ensembles.

Tu pourrais même dire un ensemble tout court puisque
en théorie des ensembles les objets dont on parle
sont tous des ensembles.

> On définit la réunion

plutot l'intersection ?

> U des éléments de  par :
> (qqs x) (x ? U R(x))

Bref, tu définis l'ensemble U comme l'ensemble
des ensemble vérifiant le prédicat R.
Remarque d'ailleurs que une telle définition ne
te définit pas forcément un ensemble pour
tout prédicat R.
Par exemple, si R = Vrai ton U devrait
être l'ensemble de tous les ensembles
(qui n'existe pas en théorie des ensembles).
ça marche dans ce cas particulier à cause de la forme
de R.

>
> Où R(x) est la relation :
> (qqs X) (X ? Â => x ? X)
>

En gros, on a R(x) ssi x est dans tous les ensembles qui
appartiennent à Â.

Et donc U est l'ensemble des élements qui appartiennent à tous
les ensembles appartenant à Â. ça semble être une définition acceptable
de l'intersection d'une famille d'ensemble (ici tous les ensembles
appartenant à Â).

Par contre, ça demande peut-etre une justification du fait
que U est bien un ensemble, peut-etre en le définissant
directement à partir des axiomes (schéma de remplacement).
A confirmer par d'autres !

[Anonyme]

"Le Grand Schtroumpf" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:49584), a écrit :
> Par contre, ça demande peut-etre une justification du fait
> que U est bien un ensemble, peut-etre en le définissant
> directement à partir des axiomes (schéma de remplacement).
> A confirmer par d'autres !

J'ai pas tout suivi, mais U est bien l'intersection de A, c'est ça ?
Dans ce cas, si A est vide, U est tout et donc c'est pas un ensemble.
Sinon U est naturellement inclus dans un élément quelconaue de A, et
donc est un ensemble en vertu de l'axiome de sélection.

--
Xavier, qui ne sais pas si c'est la réponse attendue... et qui dois là
bientôt aller faire de l'algèbre linéaire et du pivot de Gauss, et qui
donc révise

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bn39fb$pik$1@news.mgn.net...
> Je ne sais pas si le caratère Euro sort bien chez vous.
> Je retape le texte au cas où ...
>
> Soit  un ensemble d'ensembles. On définit la réunion
> U des éléments de  par :
> (qqs x) (x in U R(x))
>
> Où R(x) est la relation :
> (qqs X) (X in  => x ? X)
>
> Ce qui me gène, c'est que l'implication est vraie pour
> tout ensemble X qui n'est pas dans Â.

Effectivement si X \notin Â

X in  => x in X

est vraie.

Mais pour que R(x) soit vrai, il faut encore que ce soit vrai pour
TOUS les autres X qui eux sont dans A !

> Par conséquent

> on va mettre dans U les éléments de tous les ensembles
> qui ne sont pas éléments de  ?

Non... regarde. prend un ensemble E qui n'est pas élément de Â.
et prenons un x qui est dans E mais qui n'est pas dans un
des éléments de  (appelons B).

Cet x sera dans U si R(x) est vrai, donc si
(qqs X) (X in  => x in X)

si X = E, l'implication est vraie comme tu l'as dit avant,
remarque d'ailleurs qu'elle est vrai que x soit dans E ou qu'il
ne le soit pas puisque E n'est pas dans  !

Par contre, R(x) sera faux puisque qu'il existe (au moins) un X (qui est B)
pour lequel l'implication X in  => x in X est fausse !
et donc ton x ne sera pas dans U


J'espere que c'était clair (et juste !)

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf a écrit
> Tu pourrais même dire un ensemble tout court puisque
> en théorie des ensembles les objets dont on parle
> sont tous des ensembles.

Oui, c'est d'ailleurs moi qui ai ajouté la précision.

> plutot l'intersection ?

Oui excuse-moi c'est une faite de frappe ;o)

> Bref, tu définis l'ensemble U comme l'ensemble
> des ensemble vérifiant le prédicat R.
> Remarque d'ailleurs que une telle définition ne
> te définit pas forcément un ensemble pour
> tout prédicat R.
> Par exemple, si R = Vrai ton U devrait
> être l'ensemble de tous les ensembles
> (qui n'existe pas en théorie des ensembles).
> ça marche dans ce cas particulier à cause de la forme
> de R.

C'est vrai et c'est pourquoi il est ajouté dans la
définition (j'ai oublié de l'indiquer) que  est
non vide, sinon R(x) serait tj vraie

> En gros, on a R(x) ssi x est dans tous les ensembles qui
> appartiennent à Â.

C'est là que je ne suis pas. R(x) est également vraie pour
tous les X qui ne sont pas dans  ?

> Par contre, ça demande peut-etre une justification du fait
> que U est bien un ensemble, peut-etre en le définissant
> directement à partir des axiomes (schéma de remplacement).
> A confirmer par d'autres !

Il suffit de dire que R(x) est équivalent à :
(x in E) et (qqs X) (X in  => x in X)

Où E est un élément de Â. On reconnaît la définition d'un
ensemble par l'axiome de compréhension.

Mais je ne comprend pas bien car je ne comprend
l'expression de R(x)


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
> J'ai pas tout suivi, mais U est bien l'intersection de A, c'est ça ?

Oui pardon, c'est une étourderie

> Dans ce cas, si A est vide, U est tout et donc c'est pas un ensemble.

Oui il faut ajouter l'hypothèse  non vide que j'ai oublié

> Sinon U est naturellement inclus dans un élément quelconaue de A, et
> donc est un ensemble en vertu de l'axiome de sélection.

Oui mais c'est l'expression de R(x) que j'ai du mal à comprendre.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf

> Par contre, R(x) sera faux puisque qu'il existe
> (au moins) un X (qui est B) pour lequel l'implication
> X in  => x in X est fausse !
> et donc ton x ne sera pas dans U
> J'espere que c'était clair (et juste !)

Parfaitement. J'ai tout compris. Je te remercie de
m'avoir désobscurci les idées ;o)


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Puisque tu sembles maîtriser la science essembliste,
j'ai une encore petite question, plus philosophique...

Soit X un ensemble ayant plus de 1 élément. Peut-on
affirmer que X possède des sous ensembles différents
de X et de Ø ?

Je sais c'est totalement débile et sans intérêt. Mais
quand même ...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bn3fcl$rbr$1@news.mgn.net...
> Puisque tu sembles maîtriser la science essembliste,

mouais... elle se limite à la lecture du chapitre
théorie des ensembles dans l'encyclopédie universalis.

> Soit X un ensemble ayant plus de 1 élément. Peut-on
> affirmer que X possède des sous ensembles différents
> de X et de Ø ?
>

ça ne te semble pas évident ? Essaye de construire une
telle partie. La plus simple, un singleton.

Supposons que X a au moins 2 élements
soit x un élément de X, {x} est une partie de X qui
est différente de X (puisque X a au moins deux élements)
et de l'ensemble vide.

[Anonyme]

Le Grand Schtroumpf a écrit
> Supposons que X a au moins 2 élements soit x
> un élément de X, {x} est une partie de X qui
> est différente de X (puisque X a au moins deux
> élements) et de l'ensemble vide.

En fait j'ai mal formulé ma question. J'aurais du
dire : peut-on affirmer qu'il existe des ensembles
qui possèdent des sous-ensembles différents de
Ø et d'eux-mêmes ?

Mais en fait c'est effectivement évident : on peut
construire de tels ensembles à partir de l'ensemble
vide et de l'axiome de la réunion. Enfin je crois...

;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr ;o)

[Anonyme]

Ou plutôt à partir de l'ensemble vide et de l'axiome
des parties ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr