Démonstration

[maf]

Salut à tous, je bloque un peu sur une démo

Démontrer que est divisible par 13 ... y a t'il une astuce ?

[benekire2]

En congruences ça donne quoi ?
c'est jouable, 1^2010 = 1[13]
après tu vois 3^3=1[13] donc 3^2010=1[13] et 4^2010=1[13]
si ça doit se faire ...

[Ben314]

Salut,
Tout dépend de ce que tu appelle une "astuce"...
La façon "bébète" de prouver une telle assertion est de commencer par utiliser le petit théorème de fermat :
"Comme p=13 est premier, pour tout entier x non divisible par p, on a x^(p-1)=1 modulo p"
Comme 1,3,4 et 9 sont non divisible par p, cela signifie que l'on peut remplacer l'exposant 2010 par le reste de la division de 2010 par p-1=12, c'est à dire par 6.
On peut alors vérifier "à la main" la formule en deux minutes (on peut aussi chercher une astuce, mais ça risque de prendre plus de deux minutes pour la trouver...)

Edit : et ce que dit Benekire marche aussi : dés le départ "à la main", vu que, dés que l'on tombe sur un exposant qui vaut 1, on a la valeur de la puissance 2010...

[benekire2]

Enfin on peut aussi rester sur les congruences ...

comme 1^2010=1[13] et 3^2010=1[13] et 4^2010=1[13] enfin 9^2010=1[13]
on a un total qui est congru a 0 modulo 13 donc divisible par 13.