Volume de peinture et surface à peindre

[mathelot]

Bonjour,

en lemme, on rappelle que



La longueur de la courbe du logarithme est infinie mais elle
délimite une aire finie.

en faisant tourner la courbe du logarithme selon l'axe x'ox en dimension 3,
on voit qu'il existe des solides de révolution de volume fini délimités par des surfaces d'aire infinie.

Je suis en train de faire un problème d'école.
dans la vie courante, les volumes de peinture sont proportionnels
aux surfaces à peindre.

exemple: si je peins une chambre avec 3 litres de peinture,
je peindrai deux chambres, de surface double, avec 6 litres.

Dans le contre-exemple, on peint une surface en remplissant un volume.
La peinture comble un volume.

Dans la vie courante, le fait de peindre est d'étaler un volume de peinture
sur une surface. ce n'est pas la même chose.
y a t il continuité ? proportionnalité ?

Il y a quelque chose que je n'ai pas compris.

Merci d'éclairer ma lanterne.

[Nightmare]

Salut Mathelot !

Je te jure, j'ai relu 3 fois et pourtant je n'arrive toujours pas à comprendre ce que tu veux réellement ... Peux-tu reformuler la question?

[Ericovitchi]

Ben si c'est vrai que c'est un beau paradoxe :

- Si on remplit la trompette il faut une quantité finie de peinture (puisque le volume est fini) et ça peint l'intérieur

- et si on essaye de peindre la surface il faut une quantité infinie puis que la surface a une surface infinie (en considérant l'épaisseur de la peinture nulle mais je me demande si ça n'est pas là la réponse)

[Nightmare]

Ah !! Merci Ericovitchi, j'ai compris la question ! (J'en étais très loin...)

[mathelot]

Salut NightMare !

je vais expliquer par étapes. je suis confronté à un paradoxe.

étape 1

je fais ce problème d'école

ici


il est dit:
1 pot de peinture de 3 litres peint une surface de 48 m2

les volumes de peinture sont proportionnels aux aires à peindre

étape 2

comme la fonction logarithme néperien est intégrable sur ]0;1]
qu'elle appartient à , j'en conclu qu'il existe
des solides de révolution de volume fini , délimités par une surface
infinie.

(en effet, quand on fait tourner la courbe du log pour obtenir un solide de révolution, l'aire devient le volume et la courbe devient la surface)

donc les volumes de peinture ne sont pas proportionnels aux surfaces
à peindre.



conclusion
explique-moi le paradoxe

[mathelot]

Bon, maintenant que chacun a compris le paradoxe,
qu'est-ce qu'il se passe mathématiquement quand on étale
de la peinture sur une surface ? quel est l'invariant ?

si j'ai compris :id: quand on étale un volume de peinture,
on fait évanouir une des dimensions (l'épaisseur de peinture tend vers zéro)
mais de façon dérivable (la surface peinte devient la dérivée du volume
de peinture)



il ne faut pas peindre de porc-épic :zen:

dans le contre-exemple, on ne peint pas, on remplit un volume

[Ben314]

les volumes de peinture sont proportionnels aux aires à peindre

Déjà, ça c'est des conneries : toutes les fois que j'ai repeint un plafond, j'ai constaté que :

a) Y'a forcément (au moins) une fois ou tu déplace l'escabeau en ayant oublié que le pot de peinture est posé dessus. J'ai constaté qu'en fait, souvent, c'est "exactement une fois"...

b) Toute personne qui as déjà repeint un plafond te dira que, forcément, tu repeint en même temps ton pull, ta chemise, voir même ton caleçon si t'est vraiment doué et que la peinture est assez liquide pour tout bien couler le long de ton bras. Si tu t'y prend bien tu repeint donc aussi ta baignoire (ou ton bac de douche)

En résumé, tout cela PROUVE qu'un plafond demande nettement plus de peinture qu'un mur de même surface :zen:

[Doraki]

Je cherche la petite bête, mais sur ton exemple, la surface est finie (je dirais à peu près pi*(sqrt(2) + arcsinh(1)))

Je sais qu'un tel objet (volume fini pour surface infinie) existe mais je me souviens plus du nom.

Et puis tout dépend quel face du machin tu as envie de peindre.

[mathelot]

re,

il ne me semble pas que l'aire soit finie

la longueur de la courbe du log est donnée par

[Ben314]

Bonsoir,
Il me semble qu'entre mathelot et Doraki, il y a un problème d'axe de rotation :

mathelot considère la surface de révolution autour de l'axe x'Ox, cas dans lequel l'aire de la surface est donnée par :
( ici)

Doraki semble considèrer la surface de révolution autour de l'axe y'Oy, cas dans lequel l'aire de la surface est donnée par :
( ici)

Pour un "objet de volume fini et de surface infini", il me semble que toute surface/volume de révolution autour de l'axe des x d'une fonction (avex ) où convient.

[Benjamin]

Je sais qu'un tel objet (volume fini pour surface infinie) existe mais je me souviens plus du nom.

J'appelle ça un volume fractale, comme l'éponge de Menger.

[Ben314]

J'appelle ça un volume fractale, comme l'éponge de Menger.

"L'éponge de Meger" donne bien une surface infinie pour un volume... nul, mais c'est quand même chercher un peu compliqué (et ce n'est pas une surface/volume de révolution).
Je pense que Doraki faisait plutôt allusion à la "Trompette de Gabriel" qui correspond au cas de mon précédent post.

[Doraki]

Oui Ben, je pensais bien à la trompette de Gabriel, donc quand j'ai lu le post de mathelot j'ai pensé qu'il faisait la même rotation.