[Tle S] Sous-groupes additifs de Z

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ
mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.

Quelles sont les différentes étapes de la démonstration ?

Merci

[Anonyme]

Am 13/09/03 16:40, sagte Ramier (ramier@january.com) :

> Bonjour,
>
> Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ
> mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.
>

tu dis que les sous-groupes additifs de Z le sont à fortiori dans R
or d'après ton cours de maths tu connais les sous groupes additifs de R
tu les examines un par un ... ceux qui sont denses dans R ne marchent
évidemment pas, donc si un sous-groupe additf de Z existe il est de la forme
nZ. Après il est aisé de démontrer que nZ convient.


albert

c'est la peine que je te dise ce que je pense ? ou tu devines ?


--

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[Anonyme]

Am 13/09/03 16:40, sagte Ramier (ramier@january.com) :

> Bonjour,
>
> Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ
> mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.
>
2ème réponse :
imaginons que tu ai perdu ton cours (tes cours)


Comme G est inclu dans Z, on a x appartient à G équivaut à x relatif

ca réduit déjà beaucoup les possibilités
on suppose G est différent de {0}
alors G*+ admet un plus petit élement x1 (G est un ensemble de relatifs)
d'après les propriétés d'un sous-groupe associatif, on doit avoir x1 + x1
appartient à G, et plus généralement, p . x1 appartient à G (p entier
relatif)
donc les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ, avec n entier
naturel (ici n = x1)

il n'est tout de même pas inutile de vérifier mes affirmations..


note : quel est l'interet de faire cet exo ? et il vient d'où ? t'as pas la
^^^^^ correction ?


albert

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[Anonyme]

bonjour,
Si je peux me permettre on a juste montré là que les sous groupe de la forme
nZ sont inclus dans Z, à moins que "il n'est tout de même pas inutile de
vérifier mes affirmations.." est là pour inciter à la réciproque .Si c'est
le cas je n'ai rien dit.
Sinon j'ai une question, c'est au programme de terminale maintenant ça?
parce que moi j'ai découvert ça en sup.
salutations


"albert junior" wrote in message
news:BB88FF16.14E7E%alberteinstein588***@hotmail.com...
> Am 13/09/03 16:40, sagte Ramier (ramier@january.com) :
>[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la forme[/color]
nZ[color=green]
> > mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.
> >
> 2ème réponse :
> imaginons que tu ai perdu ton cours (tes cours)
>
>
> Comme G est inclu dans Z, on a x appartient à G équivaut à x relatif
>
> ca réduit déjà beaucoup les possibilités
> on suppose G est différent de {0}
> alors G*+ admet un plus petit élement x1 (G est un ensemble de relatifs)
> d'après les propriétés d'un sous-groupe associatif, on doit avoir x1 + x1
> appartient à G, et plus généralement, p . x1 appartient à G (p entier
> relatif)
> donc les sous groupes additifs de Z sont de la forme nZ, avec n entier
> naturel (ici n = x1)
>
> il n'est tout de même pas inutile de vérifier mes affirmations..
>
>
> note : quel est l'interet de faire cet exo ? et il vient d'où ? t'as pas[/color]
la
> ^^^^^ correction ?
>
>
> albert
>
> --
>
> Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
> antworten
>

[Anonyme]

Am 13/09/03 18:33, sagte stef (solive@wanadoo.fr) :

> bonjour,
> Si je peux me permettre on a juste montré là que les sous groupe de la forme
> nZ sont inclus dans Z, à moins que "il n'est tout de même pas inutile de
> vérifier mes affirmations.." est là pour inciter à la réciproque .Si c'est
> le cas je n'ai rien dit.

non, mais je ne vois pas ce que tu veux dire.
si je rajoute : G n'est pas de la forme nZ, ie il existe x tel que x = p +
r, 0 Sinon j'ai une question, c'est au programme de terminale maintenant ça?
> parce que moi j'ai découvert ça en sup.[/color]
ca dépend des terminales on va dire



albert

--

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[Anonyme]

"Ramier" a écrit
>
> Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la
forme nZ
> mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.
>
> Quelles sont les différentes étapes de la démonstration ?

Soit G un tel sous-groupe.
0 appartient toujours à G.
- Si G = {0}, G = 0Z, et c'est fini.
- Sinon, G contient des entiers non nuls. Si x appartient à G, -x
appartient à G. Donc G contient des entiers strictement positifs. Soit n
le plus petit d'entre eux. Alors G = nZ.
Pour le prouver, faire la division euclidienne d'un élément quelconque
de G par n.
Bon courage.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Ramier wrote:
> Bonjour,
>
> Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la
> forme nZ mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.

On voit les groupes en terminale maintenant??

[Anonyme]

"CB" a écrit dans le message de
news:bjvonv$rnc$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> Ramier wrote:[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Je cherche à montrer que les sous-groupes additifs de Z sont de la
> > forme nZ mais je ne vois pas bien comment il me faut procéder.
>
> On voit les groupes en terminale maintenant??
>
>[/color]

Comme l'a dit Albert un peu plus haut, ça dépend des Terminales...

[Anonyme]

> Quelles sont les différentes étapes de la démonstration ?

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/sg_de_Z.pdf