Intégrales plan complexes et résidus

[Ben314]

Pourriez vous me définir méromorphe? est ce une fonction qui admet des pôles ou quoi?

Oui, c'est ça.
Pour la fonction, le numérateur, c'est O.K. mais le dénominateur est un peu plus complexe à trouver.
On veut que c'est à dire que
Pour le numérateur, fastoche. Pour le dénominateur, il faut arriver à exprimer en fonction de .

On sait que donc on aurait envie d'écrire mais ça va pas car la fonction "partie réelle" n'est pas holomorphe.
On a aussi qui donne envie d'écrire mais ça va pas car la fonction "conjugué" n'est pas holomorphe.
A oui, mais, si alors c'est , mais c'est aussi donc on a .

Conclusion, la fonction à utiliser est :


Ensuite, tu simplifie l'expression de , tu cherche les pôles,
tu regarde lesquels sont dans le disque et tu applique les résidus.

[new-physician]

Je ne comprends pas tout, car je ne maîtrise pas bien la notion holomorphe. On nous a dit qu'une fonction est holomorphe lorsqu'elle ne dépend que de z, soit df/dz = 0 . Pour moi ce n'est déjà pas logique, car si cette dérivée est nulle, la fonction ne varie pas avec z, donc elle ne dépend pas de z .. non?

Donc de ce fait je ne comprends pas les arguments qui vont ont permis d'établir le bon dénominateur!

[Ben314]

Pour qu'une fonction soit holomorphe, il faut effectivement "qu'elle ne dépende que de z".
Par contre, je sais pas d'où tu sort ton df/dz=0, mais c'est (archi) faux, une fonction holomorphe n'a pas forcément une dérivée nulle.
(peut être était ce df/d( z barre) qui signifie qu'il ne doit pas y avoir de "z barre" i.e. de conjugué)

Rapidement,

Sont holomorphe : tout les polynômes, les fonctions sin, cos, exp, et tout ce qui s'obtient avec ces fonctions à l'aide de + , - , x , /

Ne sont pas holomorphe : la partie réelle, la partie imaginaire, le module, l'argument, le conjugué.

[new-physician]

Je vous remercie, voici une explication qui manquait à mon cours...

J'essaie de continuer..

Je simplifie f(z) = -4iz / ( 9 +2 z)

J'obtiens le pôle z = - 9/2

est - ce déjà correct, je peux continuer?

[new-physician]

à la fin j'obtiens - 18 pi

dites moi si vous avez encore le temps de répondre à mes questions ou pas car j'ai au moins un autre exercice que j'aimerais bien savoir faire

[new-physician]

Je ne pense pas que ce soit le bon résultat. Déjà je ne trouve qu'un pôle et vous m'avez parlé de deux pôles dont un est à éliminer...et je ne tiens compte d'aucun contour...

Une fois que j'aurai terminé ça j'aimerais encore comprendre différents exercices.
1) à l'aide de l'intégrale que je viens de calculer, déduire les valeurs de intégrale de -pi à pi de (cos2x dx) / (2+cos x) et intégrale de -pi à pi de (sin2x dx)/(2+cos x)

je remarque que mon intégrale précédente est égale à la somme de la première que je viens de donner dans le 1) + i * 2) que j'ai donné dans le 1)
mais comment faire après?

2) l'intégrale de 0 à 2 pi de (d(teta) * cos (2teta)) / (5+4cos teta) par la méthode des résidus
Je ne trouve pas de pôle .. 5 + 4 cos teta est toujours différent de 0, non?
Dans ce cas l'intégrale = 0?

3) à l'aide de la méth. des résidus, démontrer que l'intégrale de 0 à infini de dx cos (2ax) exp (-x^2) = 1/2 * racine de pi * exp (-a^2)
Indications ; considérez l'intégrale de contour J = intégrale fermée sur le contour C de dz exp (-z^2) le long du contour C .

Le contour C est un rectangle de longueur allant de -R à +R, la longueur inférieure étant collée à l'axe des abscisses. Sa hauteur est ia. Il est orienté dans le sens positif.

Vérifieez que dans la limite R tendant vers infini, les contributions des segments AA' et BB' s'annulent (ces pts ne sont pas sur le dessin)
Rappelez vous que intégrale de -infini à +infini de dx exp (-x^2) = racine de pi

Là je ne vois pas du tout comment commencer


Merci merci !!!!

[Ben314]

Bonjour,


Les pôles sont les racines de c'est à dire (pas dans le disque) et (qui est dans le disque)

[new-physician]

oui en fait je n'avais pas remis le denominateur sous une forme polynomiale... est on forcé de le faire?

je n'ai toujours pas d'idée pour la suite