Classes d'équivalences

par **Nightmare** » 15 Jan 2010, 16:24

Salut à tous !

Je considère dans

les n-uplets

qui sont rangés en ordre alterné, ie

(ou inversement)

Je considère que deux ensembles sont en relation lorsque ils ont les même inégalités. A savoir que

si et ssi pour tout i et j, l'ordre entre

et

est le même que celui entre

et

.

On définit évidemment une relation d'équivalence. Combien il y a-t-il de classes d'équivalences (selon la valeur de n) ?

Exemple :

Les ensembles {3,7,5,9} et {4,7,6,15} sont en relation, mais {4,7,5,6} n'est pas en relation avec les deux derniers, puisque 7 > 6 alors que 7 < 9 et 7 < 15

Je n'ai pas de réponses pour le moment (à part bien sûr les premiers cas n=1, 2..)

par **Ben314** » 15 Jan 2010, 17:04

Salut,
Je suppose que ta question peut s'exprimer sous le forme :
"Parmi les n! classes dans N^n (presque) tout entier, combien sont dans ton fameux ensemble des 'alternées'" ?

Ce qui revient à chercher le nombre de permutations "alternées"...

par **Ben314** » 15 Jan 2010, 17:11

Si on note

ce nombre, j'obtient :

où

désigne la partie entière et

les coeff. binomiaux....

par **Nightmare** » 15 Jan 2010, 17:12

Salut Ben :happy3:

Qu'appelles-tu "mon ensemble des 'alternées' " ?

Je ne cherche pas à savoir combien j'ai d'ensemble que je peux ranger de manière alternées mais combien d'ensembles rangés de manière alternées sont rangés de la même manière (pour une manière et un entier n donnés)

par **Ben314** » 15 Jan 2010, 17:20

Il y a n! (factorielle n) ordre possibles pour (x1,x2,...,xn) (en les supposant distincts), et, parmi ceux là, tu cherche lesquels vérifient x1x3 ; x3Ce n'est pas ça ta question ?

P.S. j'ai modifié mon précédent post qui contenait une erreur (j'avais oublié le coeff binomial...)

par **Ben314** » 15 Jan 2010, 17:29

Si tu veut une autre façon de voir, si

alors

s'identifie naturellement avec le groupe alterné

et, pour compter le nombre de classes de

Il suffit de les compter dans

...

par **Ben314** » 15 Jan 2010, 20:04

En tapant les 10 premières valeurs sous google, on tombe là dessus :
http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_permutation
Les nombres en question sont des... Bernouillis...

Tient, tant que j'y suis, j'vais aussi faire "le prof" :

Nightmare a écrit:...Je considère que deux ensembles sont en relation...

C'est pas des ensembles mais des n-uplets...

par **Nightmare** » 16 Jan 2010, 14:41

Salut Ben !

Ok, j'ai compris maintenant qu'on parlait effectivement de la même chose. Le lien répond à la question, je te remercie :happy3:

PS : Sauf erreur, ils parlent d'ensembles aussi dans le lien :lol2:

par **Ben314** » 16 Jan 2010, 15:20

Nightmare a écrit:PS : Sauf erreur, ils parlent d'ensembles aussi dans le lien :lol2:

C'est normal, les anglophones écrivent toujours n'importe quoi : ils n'ont pas lu Bourbaki :zen:

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