Fonction : l'ensensemble des classes d'equivalences d'une re

[mascor]

Bonjour
J'ai E ensemble fini / card (E)>=2 , A C P(E)/{0}
Pour tout X , Y C P(E) , X R Y équivaut X inter A = Y inter A

Il est clair que
** R est une relation d'équivalence
** et que pour B appartenant a P(E) : cl(B) = {X appartenant P(E) / X inter A = B inter A}
** je ne suis pas sur de ma démarche a démontrer la bijectivité de
f: C --> P(A) ; C : ensemble des classes d’équivalences pour R
cl(B)--> a inter B

-- Injectivité : pour B1 , B2 appartenant P(E) , f(cl(B1)) = f(cl(B2)) équivaut A inter B1 = A inter B2 équivaut B1 R B2 equivaut cl(b1) = cl(b2) [ ce passage est fait en cours] d'ou le résultat

-- Surjectivité
Soit A1 dans f(C) = P(A) ==> il existe nécessairement X dans P(E) / A1 = A inter X
==> il existe X dans P(E) / A1 = f(cl(X))
d'ou le résultat

Ainsi f bijective

c'est juste ce que j'ai fait ? car j'ai pas bien compris les classes d'équivalences

[MouLou]

Salut.

) [ ce passage est fait en cours] d'ou le résultat

-- Surjectivité
Soit A1 dans f(C) = P(A) ==> il existe nécessairement X dans P(E) / A1 = A inter X
==> il existe X dans P(E) / A1 = f(cl(X))
d'ou le résultat

Je comprends pas comment tu te permets de dire que f(C)=P(A) pour montrer le truc alors que c'est précisément ce que tu veux montrer: f est surjective ssi f(C)=P(A).

Il faut donc que tu prennes A1 dans P(A). Mais alors comme A est inclus dans E on peut voir A1 comme un élément de P(E), et que dire alors de A1 en tant qu'élément de P(E)? quelle est sa classe d'équivalence? sur quoi est elle envoyée par f?

[mascor]

Salut.



Je comprends pas comment tu te permets de dire que f(C)=P(A) pour montrer le truc alors que c'est précisément ce que tu veux montrer: f est surjective ssi f(C)=P(A).

Il faut donc que tu prennes A1 dans P(A). Mais alors comme A est inclus dans E on peut voir A1 comme un élément de P(E), et que dire alors de A1 en tant qu'élément de P(E)? quelle est sa classe d'équivalence? sur quoi est elle envoyée par f?

que dire alors de A1 en tant qu'élément de P(E)?
A1 appartient a E
quelle est sa classe d'équivalence?
cl(A1)={X dans E , X inter A = A inter A1 }
bloqué :mur: je sais je dois exprimer A1 comme A1 = A inter Y , donc f(cl(Y)) = A1

[MouLou]

Oui c'est ça, donc A1 est bien dans l'image de f

[mascor]

Oui c'est ça, donc A1 est bien dans l'image de f

oui comme idée mais c'est quoi Y ? ou on le pose comme A1 = A inter Y ??
j'ai pas compris

[MouLou]

oui comme idée mais c'est quoi Y ? ou on le pose comme A1 = A inter Y ??
j'ai pas compris :doh:

C'est la que les classes d'équivalence ça devient nébuleux. Y c'est un représentant quelconque de ta classe d'équivalence, ici ca peut etre n'importe quelle partie X de E vérifiant X inter A= A1. Mais en fait comme A1 est inclus dans A tu peux prendre A1 car A1= A inter A1.

Par ailleurs dans ton énoncé il y'a un truc pas clair a priori, c'est quand tu définis f. Tu dis:

f(cl(B))=A inter B. Mais comment etre sur que cela a bien un sens?
Si tu prend C dans cl(B), alors f(cl(B)) est aussi égal a A inter C... Cela est il compatible? Ici la réponse est évidente mais c'est bon de se poser la question.

En général en faisant proprement cette demarche avec n'importe quelle relation d'équivalence on finit par beaucoup mieux comprendre les classes d'équivalence.


Edit: "il existe nécessairement X dans P(E) / A1 = A inter X
==> il existe X dans P(E) / A1 = f(cl(X))" en fait ton raisonnement est correct à partir de là, et il suffit de dire que X=A1 convient pour etre convaincu qu'un tel X existe

[mascor]

C'est la que les classes d'équivalence ça devient nébuleux. Y c'est un représentant quelconque de ta classe d'équivalence, ici ca peut etre n'importe quelle partie X de E vérifiant X inter A= A1. Mais en fait comme A1 est inclus dans A tu peux prendre A1 car A1= A inter A1.

Par ailleurs dans ton énoncé il y'a un truc pas clair a priori, c'est quand tu définis f. Tu dis:

f(cl(B))=A inter B. Mais comment etre sur que cela a bien un sens?
Si tu prend C dans cl(B), alors f(cl(B)) est aussi égal a A inter C... Cela est il compatible? Ici la réponse est évidente mais c'est bon de se poser la question.

En général en faisant proprement cette demarche avec n'importe quelle relation d'équivalence on finit par beaucoup mieux comprendre les classes d'équivalence.


Edit: "il existe nécessairement X dans P(E) / A1 = A inter X
==> il existe X dans P(E) / A1 = f(cl(X))" en fait ton raisonnement est correct à partir de là, et il suffit de dire que X=A1 convient pour etre convaincu qu'un tel X existe

Vraiment je vous remercie
c'est plus clair maintenant :ptdr: :we: