Classes d'équivalences

[bitonio]

Bonjour à tous,

J'ai regardé de nombreux site sur la notion de classes d'équivalences... et je ne comprend toujours pas (ou mal plutot...)

Quelqu'un pourrait essayer de m'expliquer simplement ?

Merci d'avance :++:

[tize]

C'est très bien expliqué ici (Vive la wikipedia !)

[bitonio]

J'avais deja vu... A mon avis si je comprend mal, c'est qu'il doit me manquer certaine notion de base. Je vais reprendre le cours sur les relations d'ordres dès le début :ptdr:

Allez merci ;)

[tize]

Si tu connais la définition exact de Partition d'un ensemble, alors il n'y a pas de problème car une relation d'equivalence sur un ensemble E peut se représenter comme une partition de E où chaque partie est une classe...

[yos]

Rien ne vaut un exemple :
Ensemble E : population française.
Relation R : "est né la même année que".
Les classes d'équivalence sont les classes d'ages (Les gens nés en 1984 forment une classe d'équivalence).
L'ensemble quotient E/R est l'ensemble des classes d'équivalence (donc des classes d'age).
E/R est donc un ensemble ayant 110 éléments environ.

[tize]

J'aime beaucoup ton exemple Yos ! :we:

[bitonio]

les classes sont donc dans une partition de E... Il peut donc avoir dans une partition plusieurs classes d'équivalences si j'ai bien compris...

Merci pour l'exemple, mon cours manque de ca pour se faire une idée :id:

Ciaoo

[yos]

J'aime beaucoup ton exemple Yos ! :we:

Merci

les classes sont donc dans une partition de E... Il peut donc avoir dans une partition plusieurs classes d'équivalences si j'ai bien compris...

La partition de E associée à R, c'est l'ensemble des classes.
Il faut voir que "relation d'équivalence" et "partition", sont deux facettes de la même chose. Si tu as une relation d'équivalence sur E, les classes forment une partition.
Inversement si tu as une partition de E en sous-ensembles E1,...En, tu as une relation d'équivalence qui est : xRy ssi x et y sont dans le même Ei.

Je reprends un exemple : les passagers d'un train forment un ensemble sur lequel tu as la relation "est dans le même wagon que" et les classes sont les wagons.

C'est très bête jusque là. La difficulté apparait dans les cas suivants :
- quand ton ensemble E est muni d'une structure (groupe, anneau, ...) et qu'on voudrait que le passage au quotient préserve cette structure.
- quand tu as une fonction de E dans un autre ensemble F et que tu veux qu'elle induise une fonction de E/R dans F.
Pour ce dernier cas voilà un prolongement de l'exemple du train : à chaque passager on associe un nombre (son age ou son poids par exemple). La fonction ainsi définie ne "passe" pas au quotient car des gens du même wagon n'ont pas nécessairement le même age (ou poids). Il y a donc des histoires de compatibilité qui se règlent au cas par cas.

[kazeriahm]

j'ajoute que sur un ensemble E quelconque, on definit xRy ssi x et y ont la meme propriété (pour suivre les exemples de yos les propriétés "etre dans tel wagon" ou "avoir tel age"), alors R est une relation d'équivalence. En général quand il y a "meme" dans la relation, c'est une relation d'equivalence...

Je sais pas si c'est très clair... :hein:

[bitonio]

Merci à tous, je crois avoir mieux compris!! :++:

En fait, les classes forment une partition. Et si xRy est une relation d'équivalence, alors ils sont dans une meme partition ...

J'ai pas dit trop de bétises :p ?