Poly. sym.

[ludo56]

bonjour,
je ne comprends pas l'unicité du polynôme T dans la preuve du théorème suivant (pourtant elle est très courte) :
th : Soient A un anneau et P un polynôme symétrique de A[X1,...,Xn].
Alors il existe un unique polynôme T de A[X1,...,Xn] tq T(s1,...,sn) = P.
(avec S1 ... et Sn les polynômes sym. élémentaires)
auriez-vous une idée svp??
merci

[Doraki]

Si T n'était pas unique, ça voudrait dire qu'il existe un polynôme Q = T - T',
tel que Q(s1...sn) = 0, donc que les s1...sn seraient algébriquement liés.

J'ai pas d'argument super évident pour montrer que les s1 ... sn sont algébriquement indépendants.
A part discuter du degré de transcendance de tout ce beau monde.
Ou alors on peut compter le nombre de monômes de chaque degré dans K[X1...Xn], comparer avec ceux qu'on obtient avec K[s1...sn], et faire plein de calculs.

[ludo56]

Dans le livre la démo de l'unicité est la suivante :
Supposons qu'il existe un polynôme non nul T tq T(s1,...,sn) = 0.
Il existe un monôme unique M de T donnant le monôme le plus grand en X1,...,Xn de T(s1,...sn), ce qui contredit l'hypothèse T(s1,...,sn) = 0.

[Doraki]

J'appelle f le morphisme f : K[s1,s2...sn] -> K[x1,x2...xn].

On met un ordre sur les monômes de K[x1..xn]

A chaque monôme symétrique m (de la forme s1^a*s2^b*s3^c) on associe le plus grand monôme de f(m) (de la forme x1^truc x2^bidule ...)

Il se trouve que des monômes symétriques différents ont des plus grand monômes différents ; et qu'on peut ordonner les monômes symétriques à leur tour en restant compatible.

Ainsi, on regarde le plus grand monôme symétrique M de T,
T = M + ...
0 = f(T) = f(M) + f(...)
Or si on regarde le plus grand monôme de f(M), il ne peut pas apparaître dans f(...) (vu que M a le plus grand plus grand monôme, j'ose dire).
Donc il ne peut pas être compensé et f(T) ne peut pas être nul.

[ludo56]

merci il ne me reste plus qu'à démontrer cela..ah je viens de voir le dernier message

[ludo56]

je vais y réfléchir merci!!

[Ben314]

On met un ordre sur les monômes de K[x1..xn]

A la rigueur, je rajouterais deux petits détails :
1) On prend en général l'ordre lexicographique sur N^n pour ordonner les monômes
2) De mémoire, la partie "existence" de la preuve (en tout cas si c'est la preuve que je connais et qui est 'constructive') utilise déjà la notion "d'ordre sur les monômes" (preuve par récurrence) et doit déjà démontrer les propriétés utiles pour la partie "unicité".
Cela risque d'expliquer la "faible longueur" de cette partie de la preuve...