Produit de convolution en probabilité

par **Louise2607** » 27 Déc 2009, 19:05

Bonjour,
Pour plus détail sur le produit de convolution j'aimerais savoir comment on montre, par exemple que la somme de n lois de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale de parametre (n,p)?
Autrement dit il s'agit de montrer que B(n,p)=B(p)*B(p)*...*B(p) ( n fois )
Merci d'avance de vos réponses...

par **MathMoiCa** » 27 Déc 2009, 20:04

Salut,

Oh bah ça, pas besoin de passer par le produit de convolution. Tu cherches quelle est la probabilité que la somme de n va de Bernoulli soit égale à un k donné (pour k inférieur ou égal à n, cela va de soi). Et cela déterminera la loi de la somme, qui s'avérera être binômiale.

M.

par **Louise2607** » 27 Déc 2009, 20:21

Oui en fait avec mon exemple tout simple on peut éviter la convolution... Mais j'aimerais savoir comment on l'utilise. Par exemple une question qui revient souvent est :

Pour tout borélien A on définit Pn(A) = P(A | N=n ) où n est un entier
On considère n variable aléatoire Xi positives indépendantes et de même loi Px.
On considère la variable S, somme des Xi

Montrer que sous Pn la loi de S est le produit de convution de n fois Px, c'est à dire =Px*Px*...*Px ?

Je ne vois pas comment aborder la question..?
Merci d'avance

par **alavacommejetepousse** » 27 Déc 2009, 21:13

Louise2607 a écrit:Bonjour,
Pour plus détail sur le produit de convolution j'aimerais savoir comment on montre, par exemple que la somme de n lois de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale de parametre (n,p)?
Autrement dit il s'agit de montrer que B(n,p)=B(p)*B(p)*...*B(p) ( n fois )
Merci d'avance de vos réponses...

bonsoir il est utile de préciser que ces n var de bernoulli sont indépendantes

par **Louise2607** » 27 Déc 2009, 21:19

oui merci...
J'ai essayé de raisonner par récurrence mais n'aboutis pas!!!

par **alavacommejetepousse** » 27 Déc 2009, 21:27

pour n= 2 ce n est pas dans le cours sur les variables à densité?

par **Louise2607** » 28 Déc 2009, 09:22

J'ai ressayé une récurrence pour répondre à cette question mais n'aboutis toujours pas :

Pour tout borélien A on définit Pn(A) = P(A | N=n ) où n est un entier
On considère n variable aléatoire Xi positives indépendantes et de même loi Px.
On considère la variable S, somme des Xi

Montrer que sous Pn la loi de S est le produit de convution de n fois Px, c'est à dire =Px*Px*...*Px ?

Merci

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2009, 14:49

alavacommejetepousse a écrit:pour n= 2 ce n est pas dans le cours sur les variables à densité?

je remets donc

par **Louise2607** » 28 Déc 2009, 14:54

Et bien personnellement je ne l'ai pas...???

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2009, 14:56

voila une réponse enfin

le cas crucial est donc n = 2 après c est immédiat

par **Louise2607** » 28 Déc 2009, 22:21

D'accord mais même pour montrer que B(2,p)=B(p)*B(p) je bute..; car l'unique chose que je sais du produit de convolution est : Par exemple P1*P2 est l'image de la probabilité produit P1xP2 par l'application S:(x,y)-> x+y . Mais ceci ne m'avance pas beaucoup dans mon raisonnement...

Produit de convolution en probabilité

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