Conclusion d'apres mesure nulle ?

[miikou]

on peut faire tendre n vers plus infini, puis e vers 0 comme ca sans precision ? ok ..

[quinto]

Une façon rigoureuse de faire serait de prendre epsilon >0 et de faire un peu ce que tu as fait:

Puisque l'intégrale sur [epsilon,1] tend vers 0, pour n assez grand elle est plus petite que epsilon, donc l'intégrale sur [0,1] est plus petite que 2.epsilon ...

[miikou]

ok merci bien en tout cas :)

[Ben314]

Tu peut bien sur faire tendre n vers l'infini puis e vers 0 modulo de montrer que les limites existent et, ici, la seule qui pose un (mini)problème c'est l'intégrale de 0 à e lorsque n tend vers l'infini.

Perso, pour terminer la preuve, je ne procéderait pas comme ça, mais directement avec la définition des limites (pour n->infini) :
Soit epsilon>0 fixé. On prend e=epsilon/2 et N tel que n>N implique intégrale_sur_e_1

[Ben314]

Je viens d'effacer mon post qui disait la même chose que quinto...
en rajoutant que faire n->oo puis e->0 marche parfaitement à condition de justifier que l'intégrale de 0 à e admet une limite lorsque n->oo (ce qui explique que la méthode standard est plutôt celle de quinto qui ne demande aucune preuve suplémentaire)

[quinto]

Oui ma méthode de départ n'était pas celle ci (que j'aime moins).
Ma méthode préférée est la suivante:
on fait exactement la même idée, on découpe en 2 intervalles, un de mesure epsilon et l'intégrale sur [e,1].

Ainsi

En passant à la limsup et à la liminf on trouve


C'est vrai pour tout epsilon et ça prouve le résultat.

[kazeriahm]

oui mais si on dit que pour tout epsilon il existe un rang au dela duquel |I_n| <= 2*epsilon ca revient au meme (et pas besoin de lim inf et lim sup, ce qui est tout a fait equivalent je suis d'accord)