Conclusion d'apres mesure nulle ?

[miikou]

salut,

j'ai eu il y a qq temps un leger different avec un professeur concernant la resolution d'un exercice, je vous l'expose merci de me donner votre avis.

il s'agissait de montrer que l'integrale sur [0,1] de (1+n.t)/(1+t)^n dt
converge quand n -> +infini.

on pose fn(t) = (1+nt)/(1+t)^n et t dans [0,1]
on constate que sur ]0,1] on a convergence uniforme de la suite de fonction vers la fonction nulle, mais cela est faux sur [0,1]
or comme {0} est de mesure nulle alors l'integrale sur [0,1] est egale a celle sur ]0,1], laquelle converge vers 0 quand n->+infini

en effet vu que la suite de fonction converge uniformement on peut intervertir les limites, d'ou le resultat.

ma facon de voir la chose me semble tt a fait exacte n'est ce pas ?
mon prof me soutient qu'il n'est pas licite de resoudre l'exercice comme ca..
Qu'en pensez vous ?

merci

[quinto]

Bonjour,
ca commence mal puisque la convergence normale n'a pas de sens pour les suites de fonctions mais pour les séries de fonctions.
Admettons que ce soit la série de fonctions que tu étudies, dans ce cas la limite ne peut clairement pas être 0.
Bref dès le départ c'est faux.

[miikou]

salut quinto, je voulais dire ' uniforme ' biensur ..

Ps : je parle bien de la suite de fonction et non de la serie

[quinto]

Si par convergence normale tu veux parler de convergence uniforme alors c'est clairement faux également
fn(0)=1 et ce que tu prétends être la limite ailleurs vaut 0, il n'y a pas un problème pour la convergence uniforme ?

[quinto]

salut quinto, je voulais dire ' uniforme ' biensur ..

Ps : je parle bien de la suite de fonction et non de la serie

Dans ce cas c'est toujours faux ...

[miikou]

on bien sur ]0,1] convergence uniforme de la suite de fonction vers la fonction nulle me semble t-il

[miikou]

et bien alors sur [e,1] avec e>0

[quinto]

on bien sur ]0,1] convergence uniforme de la suite de fonction vers la fonction nulle me semble t-il

Prouve le, ca ne me semble pas clair du tout ...

[quinto]

et bien alors sur [e,1] avec e>0

Ok c'est déjà clairement différent ...

[miikou]

j'ai modifier, on se place sur [e,1] avec e>0 et du coup c'est clair

[miikou]

d'accord, donc peut on en conclure que c'est vrai sur ]0,1] ?

[quinto]

Du coup c'est clair ?
Non pas du tout, tu as montré que l'intégrale sur [e,1] convergeait vers 0, tu fais quoi de ce qui reste ?

[miikou]

le reste est plus petit que e , en effet sur [0,e] fn(t) est plus petit que 1
donc l'integrale plus petite que 1*(e-0)

[quinto]

Ok, maintenant ça a plus d'allure...

C'est certainement proche de ce que ton prof voulais, c'est la même démonstration que pour x^n.

Ca marche très bien avec le théorème de la convergence dominée:
fn(t) < 1

On a convergence simple vers 0, on conclut.

[miikou]

d'accord merci.
donc ma premiere approche est fausse c'est bien ca ?

[quinto]

Oui c'est faux, comme ton prof te le disait.

[miikou]

lui n'avait pas pris la peine de m'expliquer, donc il etait legitime que je me pose la question.
je te remercie quinto

[kazeriahm]

c'est pas parce que il y a convergence uniforme sur tout [e,1] pour e>0 que il y a c v u sur ]0,1] !

[miikou]

lol il me semblait aussi, mais je n'ai pa voulu deranger plus quinto ..
alors comment ferais tu ? ( oublions d'utiliser le dl a l'ordre 2 de (1+t)^n, ce n'est vraiment pas plaisant comme preuve .. )

[kazeriahm]

Bah non mais ta demonstration (corrigee par quinto) est ok, pour tout epsilon > 0, tu bosses sur [0,e] et [e,1]

Ma remarque c'etait juste une precision