Une Pandémie .. En Mathématiques !

[Parisin]

Bonjour à tous !!
J'ai un Beau DM à faire pendant les vacances avec un bel exercice !!

Pouvez-vous m'aider ??

Merci à vous !!


"On étudie une pandémie. Au début, 0.01% des habitants sont contaminés. Pour t[0;30] on note y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours. On a ainsi : y(0) = 0.01

On admet : Sur [0;30], y dérivable, strictement positive et :
y'=0.05y(10-y)

1) Soit Z sur [0;30] par .

Démontrer que y satisfait aux conditions :
y(0)=0.01
y' = 0.05y(10-y)

Si et seulement si z satisfait :
z(0) = 100
z' = -0.5z+ 0.05

2) Déduire l'expression de Z puis celle de y.
Enfin, calculer le pourcentage de la population infectée après 30 Jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.


En fait, dès la question 1 je ne vois pas comment procéder .. Après . Ca reste ambigu ..

Merci si vous pouvez m'aider !!
Bonnes Fetes !!

[armor92]

Bonjour,

Léa démonstration dans un sens n'est pas trop compliquée

si z=1/y, z' = -y'/y²

d'ou z' = - 0,05 y(10-y)/y² = - 0,05 / y * (10 - y) = - 0,5 z + 0,05

[Parisin]

Hum oui j'avais aussi pensé àceci ! Merci !
Ca marche ben effecti vement ..


Qe pensez-vous de la suite ?? Pour le 2) ? Commentpeut-on en déduire l'expression de Z et de Y ?? Que nous demande-t-on de chercher ??


Et pour le pourcentage .. Faut faire y(30) non ?? Mais il faut Y ..

[armor92]

La fonction z satisfait l'équation différentielle : z' = -0,5 z + 0,05 (E)

La solution générale de cette équation différentielle est une solution particulière de l'équation (on peut chercher comme solution particulière une fonction constante) + la solution générale de l'équation homogène z' = -0,5 z.

La solution générale de l'équation homogère z' = -0,5 z est de la forme :
z = k * exp(-0,5 t)

Une solution particulière de (E) est par exemple z0(t) = 1/10

La solution générale de (E) est donc : z(t) = 1/10 + k * exp(-0,5 t)

[Parisin]

Toujours : Merci de m'aider.

J'ai tout compris ! J'ai réussi à trouver ''K'' par les Eq' Différentielles.

Mais pour Y .. Comment procéder ?? Vu qu'on a y'= 0.05y(10-y) ???

[armor92]

Pour y on a simplement y(t) = 1 / z(t)

Si tu as trouvé z(t), c'est bon.