Exercice maths spé terminales es

[Julinee]

Bonjour, j'ai un DS de maths spé demain sur la géométrie dans l'espace. Je me suis entrainé avec des anciens sujets pris au hasard, malheureusement sans correction. Je bloque sur l'un des sujets :

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, i, j,k ) représenté ci-après.
Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : x + z = 2.

On donne les points A, B, C, définis par leurs coordonnées respectives : A(6 ; 0 ; 0) B(0 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; 6)
a. Placer les points A, B, C dans le repère (O, i, j, k) et tracer le triangle ABC.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC
AB (-6, 3, 0) AC (-6, 0, 6)

c. Soit n le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Montrer que le vecteur n est normal au plan (P) passant par A, B et C.
Je prouve que n est orthogonal à AB et à AC : si un vecteur est // à deux vecteurs sécants d'un plan, alors il est // à ce plan

Vérifier que le plan (P) a pour équation x + 2y + z = 6.
On sait que n (1, 2, 1) nomal à (P) donc (P) a pour équation x + 2y + z + d = 0 puis on remplace les coordonnées de (A) et on trouve d = -6

On a placé dans le repère les points G, E, et F à coordonnées entières.
Le point G est situé sur l'axe (O, j), le point E dans le plan (O,i ,j ) et le point F dans le plan (O, j, k).
Le plan (Q) passant par les points G, E, et F est parallèle au plan (O, i, k) ;

a. Donner l'équation du plan (Q). là je sèche car on sait que Q est // au plan (o,i,k) donc il aura pour équation y = d mais comment trouver d ?
b. Donner les coordonnées des points G, E et F. par lecture graphique G (0,2,0) E(2, 2, 0) F(0, 2, 2)c

Parmi les points E, F et G quels sont ceux situés sur le plan (P) ?
on remplace les coordonnes de E, F et G dans l'équation de (P) et on trouve G appartient à (P) et F appartient à (P).

d. Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système : y = 2
x + 2y + z = 6
Je pense que c'est une droite à l'intersection de deux plans, mais je ne sais pas comment prouver

Représenter cet ensemble sur la figure ci-dessous. ??

Est-ce que mes réponses sont justes ? pour le reste quelqu'un pourrait-t-il m'éclairer ? Merci d'avoir pris le temps de lire en tout cas ^^
Cordialement

[bombastus]

Bonjour,

c. Soit n le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Montrer que le vecteur n est normal au plan (P) passant par A, B et C.
Je prouve que n est orthogonal à AB et à AC : si un vecteur est // à deux vecteurs sécants d'un plan, alors il est // à ce plan

Je ne comprends pas : tu veux prouver une orthogonalité et tu parles de vecteur parallèle?

On a placé dans le repère les points G, E, et F à coordonnées entières.
Le point G est situé sur l'axe (O, j), le point E dans le plan (O,i ,j ) et le point F dans le plan (O, j, k).
Le plan (Q) passant par les points G, E, et F est parallèle au plan (O, i, k) ;

a. Donner l'équation du plan (Q). là je sèche car on sait que Q est // au plan (o,i,k) donc il aura pour équation y = d mais comment trouver d ?

Si tu connais les coordonnées d'un point (par lecture graphique), tu peux trouver d.

d. Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système : y = 2
x + 2y + z = 6
Je pense que c'est une droite à l'intersection de deux plans, mais je ne sais pas comment prouver

Par substitution? remplace y=2 dans la 2eme équation.

[Julinee]

Merci pour la réponse ^^

Je ne comprends pas : tu veux prouver une orthogonalité et tu parles de vecteur parallèle?

Euh oui effectivement je me suis trompée : Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs sécants d'un plan, alors il est orthogonal à ce plan


Si tu connais les coordonnées d'un point (par lecture graphique), tu peux trouver d.
par lecture graphique je peux voir par exemple G (0, 2, O) donc si on remplace 2 - d = 0 d= 2
donc l'équation du plan (Q) est y - 2 = 0

Par substitution? remplace y=2 dans la 2eme équation.
y = 2
x + 2y + z = 6 x + 2*2 + z = 6 x + z = 2 ???
En fait je ne vois pas trop ce que représente ce résultat... :triste:

[bombastus]

Euh oui effectivement je me suis trompée : Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs sécants d'un plan, alors il est orthogonal à ce plan

Oui, c'est cela, donc il reste à faire les calculs...

y = 2
x + 2y + z = 6 x + 2*2 + z = 6 x + z = 2 ???
En fait je ne vois pas trop ce que représente ce résultat... :triste:

Donc tu obtiens un système de 2 équations :
y = 2
x + z = 2

Comment est défini une droite dans l'espace?

[Julinee]

Une droite dans l'espace est définie par un système de deux équations. Donc si j'ai bien compris, l'ensemble des points M est la droite resprésentée par l'intersection des plans d'équation y = 2 et x + z = 2 ??

[bombastus]

Exactement

[Julinee]

Merci !!! :happy2: