Exercice equation differentielles terminales

[clemflm]

Bonjour a tous!
Voila, j'ai un exercice a faire, et j'ai bien avancé, seulement je bloque a une question, j'espére que vous pourrez m'aider..
voici l'enoncé:

On considére l'ED : (E): y' - 2y = x * exp(x)
1) Resoudre l'ED (Eo) : y' - 2y = 0
2) Soit a et b deux reels et u la fonction définie sur R par u(x) = (ax+b)exp(x)
a/Determiner a et b pour que u soit solution de (E)
b/Montrer que v est solution de (Eo) si et seulement si, u+v est solution de (E)
c/ En deduire l'ensemble des solutions de (E)
3)Determiner la solution de (E) qui s'annule en 0

Alors, voici mes reponses :
1) y'-2y=0
y'=2y
soit a = 2 et b=0 et -b/a=0
S= {f(x)= k*exp(2x)}
2)a)apres de longs calculs, je trouve a = 1 et b= 1/3
b) (u+v)= (x+1/3)exp(x) + k *exp(2x)
(u+v)= x* exp(x) + 1/3*exp(x) + k*exp(2x)

(u+v)' = exp(x)+1/3*exp(x)+2k*exp(2x)

2(u+v)2x*exp(x) + 2/3 exp(x) +2k*exp(2x)

(u+v)' - 2(u+v)= [...] = 2/3 * exp(x) -2*x*exp(x)

voila, et la je trouve pas comment retomber sur mes pattes, donc si quelqu'un pouvait m'aider..
Merci d'avance!
Bonne soirée

[low geek]

Bonjour=) La méthode en 2b est pas bonne (je l'ait faite des dizaines de fois comme toi^^.

il faut le faire dans les 2 sens pour la démonstration:

alors v est solution de (E0) ca veut dire:

u est solution de (E) donc:


on additione les 2 :


(rélge de dérivation)
donc
ce qui prouve bien que si v est solution de (E0), alors u+v est solution de (E).

L'autre sens:
u solution de (E) donc:

u+v solution de (E0) donc:



Or on sait que
donc
donc
donc v solution de (R0)
Si tu n'a pas tout compris dit moi =)
le reste semble juste, je revérifierai tout a l'heure je dois décoller^^

[clemflm]

j'ai tres bien compris les deux sens, mais je n'ai pas compris l'utilité du premier, la seconde partie ne suffit pas a repondre?

[low geek]

"si et seulement si" corespond a une équivalence: <=> donc si Q<=>P il faut que Q implique P et que P implique Q.
C'est quoi que tu comprend pas dans les sens? =)

sinon les valeurs de a et b sont fausses.
Comment tu as procédé?
(tu devrait trouvé a=b=-1)

[Anonyme]

@clemflm
Il n'y a aucun long calcul à faire

1) OK (cette solution est appelée une solution générale de l'équation homogène associée)

2) u(x) = (ax+b)exp(x) est solution de (E) (cette solution est appelée une solution particulière de l'équation complète)

il faut calculer u'(x) et puis calculer a et b tels que u' - 2u = x * exp(x)

Par identification c'est très facile/rapide "au niveau des calculs" de trouver a et b...

2.b) Montrer que v est solution de (E0) si et seulement si, u+v est solution de (E)
Cela se démontre "très facilement" par linéarité de la dérivation ,
c'est à dire : (u+v)'=u'+v'
sachant que
u' - 2u = x * exp(x)
v' - 2v = 0

3) Déterminer la solution de (E) qui s'annule en 0
Il faut chercher un réel k tel que (u+v)(x)=0 c'est à dire u(x)+v(x)=0
ce qui n'est pas très compliqué au niveau des calculs...

[clemflm]

J'ai tout recalculer et bien trouver -1 pour a et b, merci beaucoup!

Pour la derniere question, du coup je trouve :
v(x) + u(x) = k * x * exp(2x) + [ - x*exp(x) - exp(x)]
avec
v(0) + u(0) = k * 0 * exp(2*0) + [ - 0*exp(0) - exp(0)]
= 0 + [ -1 ]

enfin voila, k n'est plus present, alors je sais pas pk, je comprend pas, peut etre une erreur avec le k*x*exp(2x), puisque la, c'est le premier x qui géne...

[low geek]

tu as pris
:we:

[clemflm]

bhen oui parceque j'ai trouver ca!
comment tu arrive a enlever le x ?

[low geek]

S= {f(x)= k*exp(2x)}

Pourtant c'est ce que t'a trouvé =)

Et la bonne réponse est c'est sur;)
Sinon on peux le refaire ensemble:

y'+ a(x)y = 0 a pour solution:
avec K une constante et A(x) une primitive de a(x)
ici tu as y'-2y=0

[clemflm]

mais le but est de trouver K ,
k vaut donc 0?

[low geek]

ba on te demande y(x) tel quel y(0)=0

[clemflm]

oui, c'est ce que j'ai trouver apres, en le refaisant..
merci beaucoup de votre aide, c 'est tres gentil!