Très vieille OIM : équation fonctionnelle !

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde

Voici une équation fonctionnelle sur laquelle je viens de me casser la tête. Elle est assez vieille mais très élégante !

Soit une fonction de dans telle que :



Montrer que .

Bonne soirée et bon courage

Tim

[Nightmare]

Salut, jolie résultat.

Alors j'ai trouvé un truc que je posterai demain, je mets l'idée globale (plutôt habituelle)

J'attache à une certaine distance d qui rende complet.

J'applique Baire à en prouvant que les ensembles sont d'intérieur vide (c'est la seule difficulté)

Bref, je poste ça demain (et vais chercher une démo plus simple)

[Timothé Lefebvre]

Salut Nightmare,

ouah, tu sors la grosse artillerie ! Ta preuve doit être intéressante !
Je m'en suis sorti par une autre voie.

A +

[Nightmare]

Bon après y avoir réfléchit cette nuit mon truc marche pas, ma distance ne rend pas N complet.

Une autre idée était de prouver que f était majorée et minorée par l'identité. La première se fait par récurrence, la deuxième par croissance.

Je laisse les autre chercher.

[Zweig]

Salut,

Premièrement, notre inégalité fonctionnelle se réécrit comme suit :

(*)

Nous allons montrer par récurrence sur cette proposition :



est clairement vraie puisque est une fonction sur les entiers positifs, elle vaut donc au moins 1.
Supposons vraie pour un certain naturel . Montrons qu'alors l'est aussi.

D'après (*) on a : . Or d'après les hypothèses de récurrence, nous avons :



Ainsi,



Ce qui montre que est vraie. Par suite, pour tout ,



En particulier,

(**)

En combinant (*) et (**) on obtient :



D'où,



Par suite, est strictement croissante sur

Ainsi (*) est équivalente à :

D'après (**), on obtient l'encadrement suivant :



Par suite,

[Timothé Lefebvre]

Re,


j'ai fait quelque chose de semblable aux travaux de Zweig et Nightmare.

J'ai noté que notre exo revenait à montrer que



Le premier se montre par l'absurde.
On suppose qu'il existe avec alors d'où la contradiction.

Pour le second point, on suppose que . En posant la suite définie par et . On montre que la suite est bien définie puis on tombe sur où . On a donc deux cas pour k : si on a et sinon, .

Ensuite, on pose , et donc est strictement décroissante telle que :



Cette suite est clairement positive, d'où l'absurde sur le second point.

Enfin, il reste à conclure simplement en montrant par récurrence sur k que et pour .
On suppose la propriété vraie au rang k-1 et on veut le montrer aussi pour le rang k.
On pose une fonction h telle que . On vérifie que h correspond à l'énoncé (facile) et on a donc et

[ffpower]

Je l'avais fait a l epoque,et ma demo etait presque au mot pres identique a la tienne timothe^^.Bien joué en tout cas :++:

[Timothé Lefebvre]

Lol, j'ai bon alors :P