La khôlle de Busard !

[Timothé Lefebvre]

Salut à tous

J'aimerais revenir sur la khôlle posée hier (je crois) par Busard dans ce topic (en post #11) : [url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=91082"]http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=91082[/url]

Rappel de l'énoncé :

Soit f une fonction 1-périodique, telle que :

, , et
, .

1) Etudier

2) Donner une fonction continue sur mais nulle part dérivable.

J'ai trouver cet exo intéressant et je me suis penché dessus.

Voici donc ce que j'en tire :

Pour la première partie je fais une étude de cas.

La fonction est affine par morceaux, et chaque morceaux a une longueur de 1/8.
Je découpe donc l'intervalle [0,1] en 8, tels que mes cas soient [0,1/8], [1/8,1/4] etc ...

Ensuite je veux montrer la continuité de sur . De par la nature de , il me suffit de prouver sa continuité en 1/2 pour montrer, grâce à la périodicité, qu'elle est continue sur tout .
Pour se faire, je ne vois pas quoi utiliser d'autre à part le fait qu'une fonction est continue en un point lorsque qu'elle admet une limite finie en (en fait je ne connais pas encore d'autre moyen que celui-là, donc peut-être que je n'ai pas les outils nécessaires pour réussir ici). Je trouve bien :



J'en déduis que la fonction est bien continue en 1/2 et donc sur tout .

J'ai étudié et pour voir rapidement si je pouvais trouver quelque chose, mais rien ne m'a sauté aux yeux.

Après celà j'avoue que je ne sais pas du tout quoi faire !
Ai-je répondu correctement à la question 1 ?
Que faire pour la seconde ?

Merci à vous

A +

Tim

[Timothé Lefebvre]

Idée :id: : si je trouve et si je calcule sa dérivée et que celle-ci est continue mais que n'est quand même pas dérivable, j'aurais ma réponse pour la seconde question ?

[mathieuH]

Bonjour,

Pour le début, f est continue. donc g aussi.
pour la deuxième question, ce que tu présuppose sent assez bon.

mathieu.

[Timothé Lefebvre]

Okay, merci.
Je vais continuer ça et je vous fais signe quand j'arrive à quelque chose (je m'y remettrai sans doute ce soir).

[kazeriahm]

comment peut-on calculer la dérivée d'une fonction non dérivable ? (à part au sens des distributions)

[busard_des_roseaux]

l'idée (Weiertrass ou Dedekind ?) , c'est que lorsque on commence à ajouter des fonctions selon la formule, le nombre de points anguleux de la courbe représentative augmente..

et quelle est la généralisation d'une somme ?

[girdav]

En fait on peut montrer que la série en question donne une fonction continue (convergence normale). Il reste à montrer qu'elle n'est dérivable en aucun point.

[Skullkid]

Les preuves nécessitent des connaissances de spé (suites et séries de fonctions, comme l'a dit girdav). Cela dit ça reste intéressant de faire sentir à un élève, même de sup, qu'il existe de telles fonctions, et de lui donner une idée de la construction mathématique qui se cache derrière.

[Timothé Lefebvre]

Voilà, j'ai une valeur de , telle que :




Cette fonction n'est pas dérivable mais continue, n'est-ce pas ? Comment le prouver ?

[girdav]

Avant d'aborder les série de fonctions on peut penser que la continuité peut impliquer une dérivabilité locale, puisque l'on est incapable (enfin je crois) de construire un contre-exemple où la fonction n'est dérivable nulle part sur un intervalle. On voit que l'intuition est trahie.

[Timothé Lefebvre]

on est incapable (enfin je crois) de construire un contre-exemple où la fonction n'est dérivable nulle part sur un intervalle.

Euh ... Vraiment ? Comment conclure alors ?

[girdav]

Je voulais dire sans la notion de série de fonctions.

[Timothé Lefebvre]

Ah mince alors ... :/
Bon, je suis dans la mouise c'est ça ?

[girdav]

Si tu n'as pas abordé cette notion, je ne crois pas que tu puisse résoudre l'exercice (en tout cas la question 2)).

[Timothé Lefebvre]

Eh bien non alors, je n'ai pas du tout vu ça :triste: (c'est très au-dessus de mon niveau).
Bon eh bien je te remercie !

Et sinon, tu n'aurais pas une idée de solution avec les séries de fonctions (juste pour voir à quoi ça ressemble) ?

[girdav]

Un truc genre

[Timothé Lefebvre]

Hum ...

Elle converge cette série ? Vers quoi ?
C'est une 1-périodique aussi ?

EDIT : ça doit se montrer qu'elle est bornée ?

[girdav]

Oui, elle est 1-périodique.
Comme est bornée (par ) on a que la série est convergente pour tout réel : le terme général est positif et plus petit que , terme général d'un série convergente.
Dans le cas des séries, il est possible de démontrer qu'elles convergent sans pour autant pouvoir calculer la somme. En fait on travaille sur des suites (appelées sommes partielles) dont on ne connaît pas (forcément) l'expression, ni leur limite.
Mais des critères comme celui de comparaison que j'ai utilisé permet d'établir la convergence.

[Timothé Lefebvre]

Re,

des idées, j'en reviens à cette histoire de dérivabilité.

Est-ce qu'on est d'accord pour dire que est continue partout sur ?
Est-on aussi bon pour dire qu'elle est pas dérivable aux extrémités des segments où elle est affine ?

Et la limte de est dérivable ou pas ?

[kazeriahm]

Non justement, et en aucun point, mais faut le montrer à la main (il existe des théorèmes sur les séries de fonctions qui permettent de montrer que telle ou telle somme infinie est continue, dérivable, C^k, intégrable, etc... mais très peu qui permettent de montrer le contraire, c'est à dire qu'une somme n'est pas blablabla).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_continue_nulle_part_d%C3%A9rivable#Un_exemple

Voir la démonstration, que tu peux comprendre, si tu admets la partie continuité (qui n'est pas compliqué à comprendre, dis nous si tu veux des explications)